\(\left(x-y-z\right)^2+2\left(x-y-z\right)\left(y+z\right)+\left(y+z\right)^2\)

\(=\left(x-y-z+y+z\right)^2\)

\(=x^2\)

\(=\dfrac{x^2-2x+1}{4}+x^2-1+x^2+2x+1\)

\(=\dfrac{x^2-2x+1+4\left(2x^2+2x\right)}{4}\)

\(=\dfrac{9x^2+6x+1}{4}\)

\(=\dfrac{\left(3x+1\right)^2}{4}\)

Đặt \(P\left(n\right)=n^4-10n^3+35n^2-50n+24\)

Ta có \(P\left(n\right)=n^4-n^3-9n^3+9n^2+26n^2-26n-24n+24\)

\(P\left(n\right)=n^3\left(n-1\right)-9n^2\left(n-1\right)+26n\left(n-1\right)-24\left(n-1\right)\)

\(P\left(n\right)=\left(n-1\right)\left(n^3-9n^2+26n-24\right)\)

Đặt \(H\left(n\right)=n^3-9n^2+26n-24\). Khi đó \(P\left(n\right)=\left(x-1\right).H\left(n\right)\)

mà \(H\left(n\right)=n^3-9n^2+26n-24\)

\(H\left(n\right)=n^3-2n^2-7n^2+14n+12n-24\)

\(H\left(n\right)=n^2\left(n-2\right)-7n\left(n-2\right)+12\left(n-2\right)\)

\(H\left(n\right)=\left(n-2\right)\left(n^2-7n+12\right)\)

Dễ dàng thấy được \(n^2-7n+12=n^2-3n-4n+12=n\left(n-3\right)-4\left(n-3\right)=\left(n-3\right)\left(n-4\right)\)

Do đó \(H\left(n\right)=\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)\). Từ đó \(P\left(n\right)=\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(n-3\right)\left(n-4\right)\)

Mà đây chính là tích của 4 số liên tiếp, trong 4 số này luôn tồn tại một bội của 4, một bội của 3 và một số khác là bội của 2 nên \(P\left(n\right)⋮2.3.4=24\), và ta có đpcm

\(10+x^2+6x\)

\(=x^2+6x+10\)

\(=x^2+2x.3+3^2+1\)

\(=\left(x+3\right)^2+1>0\) ( đfcm )

10 + x² + 6x = x² + 2.x .3 + 3² + 1 = (x+3)² + 1 

(x+3)² ≥ 0 ∀ x ϵ R ⇔ (x+3)² + 1 ≥ 1 >0 ∀ x ϵ R

⇔ 10 + x² + 6x > 0 ∀ x ϵ R (đpcm)

`7x(x+1)=x+1`

`<=>7x(x+1)-(x+1)=0`

`<=>(x+1)(7x-1)=0`

`<=>` $\left[\begin{matrix} x=-1\\ x=\dfrac{1}{7}\end{matrix}\right.$

Vậy `S={-1;1/7}`

\(7x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow7x\left(x+1\right)-\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(7x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\7x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\dfrac{1}{7}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S=\left\{-1;\dfrac{1}{7}\right\}\)