Số số hạng của P:

\(90-1+1=90\) (số hạng)

Do \(90⋮3\) nên ta có thể nhóm các số hạng của P thành từng nhóm mà mỗi nhóm có 3 số hạng như sau:

\(P=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{88}+3^{89}+3^{90}\right)\)

\(=3.\left(1+3+3^2\right)+3^4.\left(1+3+3^2\right)+...+3^{88}.\left(1+3+3^2\right)\)

\(=3.13+3^4.13+...+3^{88}.13\)

\(=13.\left(3+3^4+...+3^{88}\right)⋮13\)

Vậy \(P⋮13\)

Gọi \(x\left(m\right)\) là độ dài khu vườn lúc đầu \(\left(x>0\right)\)

Độ dài khu vườn sau khi mở rộng: \(x+2\left(m\right)\)

Diện tích khu vườn lúc đầu: \(x^2\left(m^2\right)\)

Diện tích khu vườn lúc sau: \(\left(x+2\right)^2\left(m^2\right)\)

Theo đề bài, ta có:

\(\left(x+2\right)^2-x^2=80\)

\(\left(x+2\right).\left(x+2\right)-x^2=80\)

\(\left(x+2\right).x+\left(x+2\right).2-x^2=80\)

\(x^2+2x+2x+4-x^2=80\)

\(4x=80-4\)

\(4x=76\)

\(x=76:4\)

\(x=19\) (nhận)

Độ dài cạnh khu vườn sau khi mở rộng:

\(19+2=21\left(m\right)\)

Chu vi khu vườn sau khi mở rộng:

\(21.4=84\left(m\right)\)

Số cây hoa hồng trồng xung quanh khu vườn:

\(81:1=84\) (cây)

Số tiền mua hoa hồng:

\(84.120000=1008000\) (đồng)

\(A=2+2^2+...+2^{12}\)

\(\Rightarrow2A=2^2+2^3+...+2^{13}\)

\(\Rightarrow A=2A-A=\left(2^2+2^3+...+2^{13}\right)-\left(2+2^2+...+2^{12}\right)\)

\(=2^{13}-2\)

\(\Rightarrow A+2=2^{13}-2+2=2^{13}\)

Mà \(A+2=2^x\)

\(\Rightarrow2^x=2^{13}\)

\(\Rightarrow x=13\)

\(360=2^3\cdot3^2\cdot5;420=2^2\cdot3\cdot5\cdot7\)

=>\(BCNN\left(360;420\right)=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520\)

Vì vận động viên thứ nhất chạy một vòng hết 360 giây, vận động viên thứ hai chạy một vòng hết 420 giây nên sau ít nhất là BCNN(360;420)=2520 giây thì hai VĐV này mới lại gặp nhau

=>Sau ít nhất là 2520 giây=42 phút thì hai người mới gặp lại nhau

sau 42 phút

\(B=5+5^2+5^3+...+5^{89}+5^{90}\)

\(B=\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+...+\left(5^{87}+5^{88}+5^{89}+5^{90}\right)\)

\(B=5.\left(1+5+25+125\right)+...+5^{87}.\left(1+5+25+125\right)\)

\(B=5.156+...+5^{87}.156\)

\(B=\left(5+...+5^{87}\right).156\)

Mà \(156⋮26\) nên

\(\Rightarrow\left(5+...+5^{87}\right).156⋮26\) (hay \(B⋮26\))

\(\Rightarrow B⋮26\left(đpcm\right)\)

    Olm chào em, ghép như trong hình là hình nào em nhỉ. Ở đây chưa có hình.

\(56=2^3\cdot7;48=2^4\cdot3;40=2^3\cdot5\)

=>\(ƯCLN\left(56;48;40\right)=2^3=8\)

Để có thể cắt ba tấm gỗ có độ dài lần lượt là 56dm;48dm;40dm thành các tấm gỗ có độ dài như nhau thì độ dài của tấm gỗ được cắt phải là ước chung của 56;48;40

=>Độ dài lớn nhất có thể của tấm gỗ được cắt ra là 

ƯCLN(56;48;40)=8(dm)

                             Giải:

Để các thanh gỗ được cắt thành các đoạn có độ dài như nhau thì độ dài của mỗi đoạn là ước chung của 56; 48; 40

Vì các đoạn được cắt có độ dài lớn nhất nên độ dài các đoạn là ước chung lớn nhất của 56, 48, 40

      56 = 2³.7; 48 = 2⁴.3; 40 = 2³.5

 ƯCLN(56; 48; 40) = 2³ = 8

Vậy ba thanh gỗ sẽ được cắt thành các đoạn bằng nhau sao cho mỗi đoạn có độ dài 8 dm.

Gọi x là số học sinh lớp 6A (x e N*, x<45 học sinh)                                    Khi xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 7 thì đều vừa đủ hàng                  nên x chia hết cho 2,x chia hết cho 3, x chia hết cho 7                          Suy ra: x e BC ( 2;3;7)                                                                            Ta có :                                                                                                     2 = 2                                                                                                        3 = 3                                                                                                      7 = 7                                                                                                     BCNN (2;3;7) = 2 . 3 . 7 = 42                                                                  BC(2;3;7) = B(42) = { 0; 42; 84;...}                                                         Mà x<45 nên x = 42                                                                                Vậy lớp 6A có 42 học sinh                                    

Gọi x là số học sinh lớp 6A (x e N*, x<45 học sinh)                                                                          Khi xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 7 thì đều vừa đủ hàng                                 Nên x chia hết cho 2,x chia hết cho 3, x chia hết cho 7                                             Suy ra: x e BC ( 2;3;7)                                                                                           Ta có :                                                                                                                    2 = 2                                                                                                                   3 = 3                                                                                                                      7 = 7                                                                                                            BCNN (2;3;7) = 2 . 3 . 7 = 42                                                                                 BC(2;3;7) = B(42) = { 0; 42; 84;...}                                                                          Mà x<45 nên x = 42                                                                                                 Vậy lớp 6A có 42 học sinh                                    

Bước 1: Tìm bội chung nhỏ nhất

• Ta cần tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 8, 12 và 15.
• Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
  • 8 = 2^3
  • 12 = 2^2 * 3
  • 15 = 3 * 5
• BCNN(8, 12, 15) = 2^3 * 3 * 5 = 120

Bước 2: Tìm số cần tìm

• Số cần tìm có dạng: 120k - 2 (với k là số tự nhiên)
• Để số cần tìm chia hết cho 23, ta thử các giá trị của k:
  • Với k = 1: 120*1 - 2 = 118 (không chia hết cho 23)
  • Với k = 2: 120*2 - 2 = 238 (không chia hết cho 23)
  • ...
  • Với k = 5: 120*5 - 2 = 598 (chia hết cho 23)

Kết luận:

Số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện của bài toán là 598.

• Tìm bội chung nhỏ nhất: Để giải bài toán này, ta cần tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 10, 12 và 23.

  • Phân tích ra thừa số nguyên tố:
    • 10 = 2 * 5
    • 12 = 2^2 * 3
    • 23 = 23
  • BCNN(10, 12, 23) = 2^2 * 3 * 5 * 23 = 2760

• Tìm số cần tìm:

  • Số cần tìm chia cho 2760 dư bao nhiêu?
  • Theo đề bài, số đó chia 10 dư 3 nên số đó có dạng: 2760k + 3 (với k là số tự nhiên)
  • Để tìm số lớn nhất có 3 chữ số thỏa mãn điều kiện, ta cho k lớn nhất sao cho 2760k + 3 nhỏ hơn 1000.
  • Thử các giá trị của k:
    • Với k = 0: 2760*0 + 3 = 3 (loại vì không phải số có 3 chữ số)
    • Với k = 1: 2760*1 + 3 = 2763 (thỏa mãn)

Kết luận:

Số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số thỏa mãn điều kiện là 2763.

Chia 23 dư 8 chứ sao lại dư 8 và 19 được em ơi?