\(x^2-2\left(m-3\right)x+m^2-5m+6=0\)(1)

Để phương trình có hai nghiệm \(x_1,x_2\)thì: 

\(\Delta'\ge0\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2-\left(m^2-5m+6\right)=m^2-6m+9-\left(m^2-5m+6\right)=-m+3\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\le3\)

Với \(m\le3\)phương trình (1) có hai nghiệm \(x_1,x_2\)nên theo định lí Viete ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-6\\x_1x_2=m^2-5m+6\end{cases}}\)

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m-3\right)^2-2\left(m^2-5m+6\right)\)

\(=2m^2-14m+24=40\)

\(\Leftrightarrow m^2-7m-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-8\right)\left(m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=8\left(l\right)\\m=-1\left(tm\right)\end{cases}}\)

TL :

Được vì lúc đó MO là đường trung trực của AB

HT

a. Tam giác ABM nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M

Suy ra: AN ⊥ BM

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại C

Suy ra: AC ⊥ BN

Tam giác ABN có hai đường cao AC và BM cắt nhau tại E nên E là trực tâm của tam giác ABN

Suy ra: NE ⊥ AB

b. Ta có: MA = MN (tính chất đối xứng tâm)

ME = MF (tính chất đối xứng tâm)

Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

Suy ra: AF // NE

Mà NE ⊥ AB (chứng minh trên)

Suy ra: AF ⊥ AB tại A

Vậy FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c. Trong tam giác ABN ta có: AN ⊥ BM và AM = MN

Suy ra tam giác ABN cân tại B

Suy ra BA = BN hay N thuộc đường tròn (B; BA)

Tứ giác AFNE là hình bình hành nên AE // FN hay FN // AC

Mặt khác: AC ⊥ BN (chứng minh trên)

Suy ra: FN ⊥ BN tại N

Vậy FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

\(ĐKXĐ:x\ge0\)

\(-x+\sqrt{x}-2=-x+\sqrt{x}-\frac{1}{4}-\frac{7}{4}=-\left(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}\right)-\frac{7}{4}\)

\(-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{7}{4}\). Vì \(-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\ge0\)

\(\Leftrightarrow-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{7}{4}\le-\frac{7}{4}\forall x\ge0\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\left(TMĐK\right)\).   Vậy .............

câu này mik làm đc r nên thôi nha cảm ơn bạn nào đang nghĩ

ta có : 

ta cso: 

Đề có sai không thế bạn, chỗ \(3x^2\)và \(6x^2\)ấy 

nhâm 3x nha sr

Không mất tính tổng quát ta chuẩn hóa \(AB=1\).

Dễ dàng suy ra \(AC=\sqrt{3},BC=2\).

\(AB+BM=AC+CM\)

\(\Leftrightarrow1+2-CM=\sqrt{3}+CM\)

\(\Leftrightarrow CM=\frac{3-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BM=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)

Kẻ \(AH\)vuông góc với \(BC\).

Suy ra \(BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow MH=\frac{\sqrt{3}}{2}\)mà \(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
suy ra \(MH=AH\)suy ra \(\Delta MAH\)vuông cân tại \(H\)

suy ra \(\widehat{AMH}=45^o\)

mà \(\widehat{AMH}=\widehat{ACM}+\widehat{CAM}\Leftrightarrow\widehat{CAM}=\widehat{AMH}-\widehat{ACM}=45^o-30^o=15^o\).

bạn ghi đúng đề ko v ?

\(ĐKXĐ:x\ge0\)

\(\sqrt{P}< \frac{1}{2}\Leftrightarrow P< \frac{1}{4}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x+1}}< \frac{1}{4}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{4}< 0\)

\(\frac{4\left(\sqrt{x}-2\right)}{4\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{4\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\Leftrightarrow\frac{4\sqrt{x}-8-\sqrt{x}-1}{4\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3\sqrt{x}-9}{4\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0.\). Vì \(\sqrt{x}\ge0\forall x\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1>0\forall x\Leftrightarrow4\left(\sqrt{x}+1\right)>0\forall x\)

\(\Rightarrow3\sqrt{x}-9< 0\Leftrightarrow3\sqrt{x}< 9\Leftrightarrow\sqrt{x}< 3\Leftrightarrow x< 9\)

Kết hợp \(ĐKXĐ:x\ge0\Rightarrow0\le x< 9\) 

Vậy.....

em cảm ơn ạ!