Cho x+y+z=1 .Chứng minh rằng : \(\left(1+\frac{1}{x}\right)^4+\left(1+\frac{1}{y}\right)^4+\left(1+\frac{1}{z}\right)^4\ge768\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
CD
0
TD
0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\left(1+\frac{1}{x}\right)^4+\left(1+\frac{1}{y}\right)^4+\left(1+\frac{1}{z}\right)^4\ge\frac{\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2+\left(1+\frac{1}{z}\right)^2\right]^2}{3}\)(1)
\(\left(1+\frac{1}{x}\right)^2+\left(1+\frac{1}{y}\right)^2+\left(1+\frac{1}{z}\right)^2\ge\frac{\left(1+\frac{1}{x}+1+\frac{1}{y}+1+\frac{1}{z}\right)^2}{3}=\frac{\left(3+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{3}\)(2)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{1}=9\)(3)
Từ (1), (2) và (3) => \(\left(1+\frac{1}{x}\right)^4+\left(1+\frac{1}{y}\right)^4+\left(1+\frac{1}{z}\right)^4\ge768\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=1/3