Đổi 3 giờ 30 phút = 3,5 giờ

Cứ 1 giờ hai vòi chảy được: 1: 3,5 = \(\dfrac{2}{7}\)(bể)

2 giờ hai vòi cùng chảy được: \(\dfrac{2}{7}\) \(\times\) 2 = \(\dfrac{4}{7}\) (bể)

Trong 1 giờ vòi 1 chảy được: \(\dfrac{4}{5}\) - \(\dfrac{4}{7}\) = \(\dfrac{8}{35}\) (bể)

Vòi 1 chảy đầy bể sau: 1 : \(\dfrac{8}{35}\) = \(\dfrac{35}{8}\) (giờ)

Vòi 2 chảy một mình trong 1 giờ được: \(\dfrac{2}{7}\) - \(\dfrac{8}{35}\)  =  \(\dfrac{2}{35}\)(bể)

Vòi 2 chảy đầy bể sau: 1 : \(\dfrac{2}{35}\) = \(\dfrac{35}{2}\) (giờ)

Kết luận:.....

Gọi x (h), y(h) lần lượt là thời gian chảy một mình đầy bể của vòi thứ nhất và vòi thứ hai (x, y > 0)

3h 30 phút = 3,5 h

Cả hai vòi cùng chảy trong 1 giờ:

1/x + 1/y = 1/3,5 (1)

Vòi thứ nhất chảy 3h, vòi thứ hai chảy 2h được 4/5 bể nên:

3/x + 2/y = 4/5 (2)

Đặt u = 1/x; v = 1/y

(1) ⇔ u + v = 2/7

⇔ u = 2/7 - v

(2) ⇔ 3u + 2v = 4/5 (3)

Thế u = 2/7 - v vào (3) ta có:

(3) ⇔ 3.(2/7 - v) + 2v = 4/5

⇔ 6/7 - 3v + 2v = 4/5

⇔ -v = 4/5 - 6/7

⇔ -v = -2/35

⇔ v = 2/35

Thế v = 2/35 vào u = 2/7 - v, ta được:

u = 2/7 - 2/35

⇔ u = 8/35

*) Với u = 8/35

⇔ 1/x = 8/35

⇔ x = 35/8 (nhận)

*) Với v = 2/35

⇔ 1/y = 2/35

⇔ y = 35/2 (nhận)

Vậy vòi thứ nhất chảy một mình trong 35/8 h thì đầy bể

Vòi thứ hai chảy một mình trong 35/2 h thì đầy bể

Ta có \(\dfrac{a^2}{b^2}+1\ge2.\dfrac{a}{b}\)

Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng theo vế, ta được:

\(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}+3\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\) (*)

Mà ta lại có \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}=3\)

\(\Leftrightarrow-3\ge-\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\) (**)

Cộng theo vế (*) và (**), ta được đpcm. 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

A B C H M I

a/

Xét tg vuông ABC

\(AH^2=BH.HC\) (Trong tg vuông bình phương đường đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{2.6}=2\sqrt{3}\)

\(BC=BH+HC=2+6=8\)

\(AB^2=BH.BC\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{2.8}=4\)

b/

Xét tg vuông ABH

\(\sin B=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Xét tg vuông ACH

\(\tan C=\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

c/

a) \(AH^2=HB.HC=2.6=12\Rightarrow AH=2\sqrt[]{3}\left(cm\right)\)

\(AB^2=AH^2+BH^2=12+4=16\Rightarrow AB=4\left(cm\right)\left(Pitago\right)\)

b) \(SinB=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{2\sqrt[]{3}}{4}=\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}\)

\(tanC=\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{2\sqrt[]{3}}{6}=\dfrac{\sqrt[]{3}}{3}\)

Câu C bạn xem lại đề

Có cạnh là ABC

\(y=\left(m-2\right)x+2m+1\left(d_1\right)\)

\(y=x-2\left(d_2\right)\)

Để \(d_1\) cắt \(d_2\) tại điểm có hoành độ bằng -3 thì \(x=-3\) là nghiệm hpt

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\left(m-2\right)\left(-3\right)+2m+1\\y=-3-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3m+6+2m+1=-5\\y=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-m=-12\\y=-5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=12\)

Vậy \(m=12\) thỏa mãn đề bài