Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow2\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow1\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow1\le\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow1\le ab\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

\(P=a^3+b^3+a\left(b^2-6\right)+b\left(a^2-6\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\left(a+b\right)-6\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2+ab-6\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-6\right)\)

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=2\Leftrightarrow a+b=2ab\)

Áp dụng:

\(P\ge2ab\left(2ab-6\right)\ge2.1\left(2-6\right)=2.\left(-4\right)=-8\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

Vậy \(P_{min}=-8\Leftrightarrow a=b=1\) 

Tham khảo nhé~

\(\left(\frac{1}{a}+a\right)+\left(\frac{1}{b}+b\right)-\left(a+b\right)\)

\(\ge2+2-\left(a+b\right)=4-\left(a+b\right)\)

Từ đây,ta có: \(2\ge4-\left(a+b\right)\Leftrightarrow a+b\ge2\)

(Biến đổi tương tự như kudo,ta sẽ được:)

\(P=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-6\right)\ge2\left(a^2+b^2-6\right)\)

\(=2a^2+2b^2-12=\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)-12\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \(P\ge\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)-12\ge\left(a+b\right)^2-12\ge4-12=-8\)

Vậy ...

Lưu ý: Không dùng BĐT Bunhiacopxki.

\(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+y^2+2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

Áp dụng

\(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}.\left(x+y\right)^2=\frac{1}{2}.3^2=4,5\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=1,5

Ta có:\(\hept{\begin{cases}x^3+2y=1\\y^3+2x=-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x^3+y^3\right)+\left(2y+2x\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2\left(x+y\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2+2\right)=0\)

đến đây dễ nha.

Forever Miss You , bạn giải tiếp đi ^^

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\left(a,b\ne0\right)\)

\(\ge\frac{2b}{b}+\frac{b}{2b}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)(đpcm)

Dấu = xảy ra khi a = 2b <=> Min = 5/2

tth: thêm hộ cái điều kiện a,b dương

Đặt \(\frac{a}{b}=x\) 

Ta có: \(a\ge2b\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}\ge2\)

\(\Leftrightarrow x\ge2\)

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x+\frac{1}{x}=\frac{1}{4}x+\frac{1}{x}+\frac{3}{4}x\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2.\sqrt{\frac{1}{4}.x.\frac{1}{x}}+\frac{3}{4}x\ge2.\frac{1}{2}+\frac{3}{4}.2=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\left(v\text{ì}x\ge2\right)\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{4}x=\frac{1}{x}\\x=2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=4\\x=2\end{cases}}\Leftrightarrow}x=2\Leftrightarrow\frac{a}{b}=2\Leftrightarrow a=2b\)