Bạn xem lại đề.

giúp e vs

We subtitute \(ab+bc+ca=1\) into \(a^2+1\). We have: \(a^2+1=a^2+ab+bc+ca=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\)\(=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

Similarly, we have \(b^2+1=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\) and \(c^2+1=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

From these, we have \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\)\(=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)\(=\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\)

Thus, we must have \(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\)\(=\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\)

Because both \(a,b,c\) are rational numbers, \(\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\) must be a rational number. Therefore, \(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\) is also a rational number.

\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)}\)

\(=\sqrt{\left[a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]\left[b\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)\right]\left[c\left(c+a\right)+b\left(c+a\right)\right]}\)

\(=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)

\(=\sqrt{\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2}=\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\)

Do \(a,b,c\) là các số hữu tỉ nên \(\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\) là số hữu tỉ.

\(\Rightarrowđpcm\)

\(a,b\ne0\)

\(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{b^2\left(a+b\right)^2+a^2\left(a+b\right)^2+a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(a^2b^2+2ab^3+b^4\right)+\left(a^4+2a^3b+a^2b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(a^4+2a^2b^2+b^4\right)+2ab\left(a^2+b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2+ab\right)^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}=\left|\dfrac{a^2+b^2+ab}{ab\left(a+b\right)}\right|\)

Do \(a,b\) là số hữu tỉ nên \(\left|\dfrac{a^2+b^2+ab}{ab\left(a+b\right)}\right|\) cũng là số hữu tỉ.

\(\Rightarrowđpcm\)

234 x456 =

234 x456 = 106704

Bạn nên viết đề bằng công thức toán để được hỗ trợ tốt hơn. Đọc thế này khó hiểu lắm.

a/

Ta có

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\) => E và D cùng nhìn BC dưới 1 góc \(90^o\)

=> E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => BCDE là tứ giác nội tiếp

b/

Ta có H là trực tâm cuat tg ABC \(\Rightarrow AH\perp BC\)

Xét tg vuông ADH và tg vuông BCD có

\(\widehat{DAH}=\widehat{DBC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\) )

=> tg ADH đồng dạng với tg BCD (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{DH}{DC}\Rightarrow DA.DC=DH.DB\)

c/

Gọi Q là giao của AO với (O)

Gọi I là giao của AO với ED

Gọi K là giao của AO với CE

Xét (H) có

\(HD\perp AN\) => DA=DN (trong đường tròn đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung )

\(HE\perp AM\) => EA=EM (lý do như trên)

Xét tg AMN có

\(\dfrac{DA}{DN}=\dfrac{EA}{EM}=1\) => ED//MN (talet đảo trong tam giác)

Xét tứ giác nt BCDE có

\(\widehat{DEC}=\widehat{DBC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung DC) (1)

Xét (O) có

\(\widehat{ACB}=\widehat{AQB}\) (góc nt cùng chắn cung AB) (2)

Ta có \(\widehat{ABQ}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow QB\perp AB\) mà \(CE\perp AB\) => CE//QB \(\Rightarrow\widehat{AKE}=\widehat{AQB}\) (góc đồng vị) (3)

Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{AKE}=\widehat{ACB}\) (4)

Xét tg vuông BCD có

\(\widehat{ACB}+\widehat{DBC}=90^o\) (5)

Từ (1) (4) (5) \(\Rightarrow\widehat{AKE}+\widehat{DEC}=90^o\)

Xét tg IKE có

\(\widehat{AKE}+\widehat{DEC}=90^o\Rightarrow\widehat{EIK}=90^o\Rightarrow AO\perp ED\)

Mà ED//MN (cmt)

\(\Rightarrow AO\perp MN\)