Lũy thừa với số mũ hữu tỉ lên lớp 12 mới học mà \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\)

\(=\sqrt{6+2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3-\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}}}\)

\(=\sqrt{6+2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3-\sqrt{3}-1}}\)

\(=\sqrt{6+2\sqrt{3}\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}}\)

\(=\sqrt{6+\sqrt{6}\cdot\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\)

\(=\sqrt{6+\sqrt{6}\cdot\left(\sqrt{3}-1\right)}\)

\(=\sqrt{6+3\sqrt{2}-\sqrt{6}}\)

Ta có: \(x^2+4y^2+x=4xy+2y+2\)

        \(\Rightarrow x^2-4xy+4y^2+x-2y=2\)

      \(\Rightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(x-2y\right)=2\)

      \(\Rightarrow\left(x-2y\right)\left(x-2y+1\right)=2\) 

Tìm các TH

Mặt khác : \(4x^2+4xy+y^2=2x+y+56\) 

                \(\Rightarrow\left(2x+y\right)^2-\left(2x+y\right)=56\)

               \(\Rightarrow\left(2x+y\right)\left(2x+y-1\right)=56\)

Tìm các TH

\(HB.HC=15^2=225\)

Ta có : \(\hept{\begin{cases}AB^2=BH.BC\\AC^2=CH.BH\end{cases}\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{CH}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{HB}{HC}=\frac{25}{49}\\HB.HC=225\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}HB.HC.\frac{HB}{HC}=\frac{25}{49}.225\\HB.HC=225\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}HB^2=\frac{5625}{49}\\HB.HC=225\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}HB=\frac{75}{7}\\HC=21\end{cases}}}\)

cảm ơn ạ

A B C H D O E F K G I

Đặt G là trung điểm HC, DG cắt HE tại I.

Dễ thấy \(\Delta\)AHB ~ \(\Delta\)CHD (g.g) với trung tuyến tương ứng BK,DG. Suy ra \(\Delta\)BHK ~ \(\Delta\)DHG (c.g.c)

Suy ra ^HBK = ^HDG = ^HDI (1)

Áp dụng ĐL Melelaus cho \(\Delta\)GCD và 3 điểm E,I,H có \(\frac{ED}{EC}.\frac{IG}{ID}.\frac{HC}{HG}=1\)

Bởi vì \(\frac{ED}{EC}=\frac{1}{2};\frac{HC}{HG}=2\)nên \(\frac{IG}{ID}=1\)hay I là trung điểm GD

Ta thấy \(\Delta\)DGH vuông tại H có trung tuyến HI nên ^HDI = ^DHI (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ^HBK = ^DHI = ^FHK. Chú ý rằng HK là tiếp tuyến của (BH)

Do đó ^HBK = ^FHK = ^HBF. Mà F,K cùng phía so với HB nên tia BF trùng tia BK

Vậy ba điểm B,F,K thẳng hàng (đpcm).