#)Giải :

\(x^2+y^2+z^2=4x-2y+6z-14\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-4x-2y+6z-14=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2=0\\y+1=0\\z-3=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=-1\\z=3\end{cases}}}\)

Vậy x = 2; y = -1; z = 3

a) Kẻ đường cao : BH , AI , CK 
Ta có: sinA = BH / c ; sinB = AI / c 
=> sinA/sinB = BH / AI (1) 
Mà BH = a.sinC ; AI = b.sinC 
=> BH/AI = a/b (2) 
Từ (1) và (2)

=> sinA/sinB = a/b  => a/sinA = b/sinB 
CMTT  ta có: 
 b/sinB = c/sinC ; c/sinC = a/sinA 
Từ đó suy ra a /sinA = b / sinB = c /sinC 

Có \(a+1+1\ge3\sqrt[3]{a}\)

     \(b+1+1\ge3\sqrt[3]{b}\)

\(\Rightarrow a+b+1+1+1+1\ge3\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\)

\(\Rightarrow3\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\le6\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\le2\)

"=" tại a=b=1

a) Ta có:

OB = OC = R (vì B, C nằm trên (O ; R))

DB = DC = R ( vì B, C nằm trên (D ; R))

Suy ra : OB = OC = DB = DC.

Vậy tứ giác OBDC là hình thoi.

b) Ta có: OB = OD = BD = R

∆OBD đều ⇒ˆOBD=60∘

Vì OBDC là hình thoi nên:

ˆCBD=ˆOBC=12ˆOBD=30∘CBD^=OBC^=12OBD^=30∘

Tam giác ABD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên:

ˆABD=90∘ABD^=90∘

Mà            ˆOBD+ˆOBA=90∘OBD^+OBA^=90∘

Nên           ˆOBA=ˆABD–ˆOBD=90∘–60∘=30∘OBA^=ABD^–OBD^=90∘–60∘=30∘

c) Tứ giác OBDC là hình thoi nên OD ⊥ BC hay AD ⊥ BC

Ta có:      AB = AC ( tính chất đường trung trực)

Suy ra tam giác ABC cân tại A   (1)

Mà  ˆABC=ˆOBC–ˆOBA=30∘+30∘=60∘ABC^=OBC^–OBA^=30∘+30∘=60∘.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC đều.

Tự vẽ hình 

Kẻ BH \(\perp\)AC và \(CK\perp\)AB

Tam giác AKC vuông tại K

=>CK=bsinA (1)

Tam giác BKC vuông tại K 

=>CK=asinB  (2)

Từ (1) (2)=>bsinA=asinB

<=>\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\)

Chứng minh tương tự ta có :\(\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}\)

Vậy ....

1)

gọi I là giao điểm của BD và CE

ta có E là trung điểm cua AB nên EB bằng 3 cm

xét △EBI có \(\widehat{I}\)=90⁰ có

EB² = EI² + BI² =3²=9             (1)

tương tự IC² + DI² = 16            (2)

lấy (1) + (2) ta được

EI²+DI²+BI²+IC²=25

⇔ ED²+BC²=25

xét △ABC có E là trung điểm của AB và D là trung điểm của AC

⇒ ED là đường trung bình của tam giác

⇒ 2ED =BC

⇔ ED²=14BC²

⇒ 14BC²+BC²=25

⇔ 54BC²=25

⇔ BC²=20BC²=20

⇔ BC=√20

Ta có: \(S_{AHC}=\frac{AH.AC}{2}=96\left(cm^2\right)\Rightarrow AH.AC=192cm\)(1)

\(S_{ABH}=\frac{AH.BH}{2}=54\left(cm^2\right)\Rightarrow AH.BH=108cm\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AH.BH.AH.HC=20736\)

Mà: AH²=BH.CH

    => AH².AH²=BH.CH.AH²

   <=> AH⁴=20736

    => AH=12cm

    => BH=9cm ; CH=16cm

      Vậy BC=25cm

\(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-6\sqrt{20}}}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{20-2.\sqrt{20}.3+9}}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{\left(\sqrt{20}-3\right)^2}}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{20}+3}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-\sqrt{20}}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5-5.\sqrt{5}.1+1}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}\)

\(=\sqrt{1}=1\)

\(\frac{\sqrt{3-2\sqrt{2}}}{\sqrt{17-12\sqrt{2}}}-\frac{\sqrt{3+2\sqrt{2}}}{\sqrt{17+12\sqrt{2}}}\)

\(=\frac{\sqrt{2-2.\sqrt{2}.1+1}}{\sqrt{17-3.2.2.\sqrt{2}}}-\)\(\frac{\sqrt{2+2.\sqrt{2}.1+1}}{\sqrt{17+3.2.2.\sqrt{2}}}\)

\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}}{\sqrt{17-3.2.\sqrt{4}.\sqrt{2}}}\)\(-\frac{\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}}{\sqrt{17+3.2.\sqrt{4}.\sqrt{2}}}\)

\(=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{8-2.\sqrt{8}.3+9}}\)\(-\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{8+2.\sqrt{8}.3+9}}\)

\(=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{\left(\sqrt{8}-3\right)^2}}\)\(-\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{\left(\sqrt{8}+3\right)^2}}\)

\(=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{8}-3}\)\(-\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{8}+3}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{8}+3\right)-\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{8}-3\right)}{\left(\sqrt{8}-3\right)\left(\sqrt{8}+3\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{16}+3\sqrt{2}-\sqrt{8}-3-\sqrt{16}+3\sqrt{2}-\sqrt{8}+3}{\left(\sqrt{8}-3\right)\left(\sqrt{8}+3\right)}\)

\(=\frac{6\sqrt{2}-2\sqrt{8}}{\left(\sqrt{8}-3\right)\left(\sqrt{8}+3\right)}\)

\(=\frac{6\sqrt{2}-2.2.\sqrt{2}}{\left(2\sqrt{2}-3\right)\left(2\sqrt{2}+3\right)}\)

\(=\frac{2\sqrt{2}}{\left(8-9\right)}=\frac{2\sqrt{2}}{-1}=-2\sqrt{2}\)