Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC tại G và cắt đường vuông góc với AH kẻ từ A tại T

 Ta có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{CAH}+\widehat{HAE}=90^0\\\widehat{TAE}+\widehat{HAE}=90^0\end{cases}}\Rightarrow\widehat{CAH}=\widehat{TAE}\)

Xét \(\Delta\)CAH và \(\Delta\)EAT có:^CAH=^TAE;AC=AE \(\Rightarrow\Delta\)CAH=\(\Delta\)EAT ( ch.gn )\(\Rightarrow\)AH=AT=HG

Xét \(\Delta\)ACE có:AM=ME=CM

Xét \(\Delta\)GCE có:GM=ME=CM 

Khi đó:AM=GM ( liên tưởng BĐT AM-GM ghê á :3 )

Xét \(\Delta\)AHM và \(\Delta\)GHM có:HM chung;AM=GM;AH=HG nên \(\Delta\)AHM=\(\Delta\)GHM ( c.c.c ) => ^AHM=^GHM 

=> đpcm

Trình bày theo kiểu tam giác đồng dạng :D

Kí kiệu "~" tạm coi là đồng dạng nhé !

Hạ EI vuông góc với BC

Dễ thấy\(\Delta\)EBI ~ \(\Delta\)CBA ( g.g ) nên \(\frac{BI}{BA}=\frac{EB}{BC}\)

Khi đó \(\Delta\)BIA ~ \(\Delta\)BEC ( c.g.c ) nên ^BAI=^BCE

Ta có:^ACH+^CAH=90⁰ => ^ECH+^CAH=45⁰ => ^IAB+^CAH=45⁰ => ^HAI=45⁰ => \(\Delta\)HAI vuông cân tại H => HA=HI

Đến đây có 2 hướng làm:

Hướng 1:Chứng minh \(\Delta\)IHM =\(\Delta\)AHM ( c.c.c ) 

Hướng thứ 2:Tam giác đồng dạng

Dễ chứng minh:\(AC^2=CH\cdot BC\) mà theo Pythagoras thì \(AC^2=2CM^2\)

Khi đó:\(CH\cdot BC=2CM^2=CM\cdot CE\Rightarrow\frac{CH}{CM}=\frac{CE}{BC}\Rightarrow\Delta\)CHM ~ \(\Delta\)CEB ( c.g.c ) 

\(\Rightarrow\widehat{CHM}=\widehat{CEB}=135^0\Rightarrow\widehat{AHM}=45^0\Rightarrow\widehat{HMB}=45^0\)

=> ĐPCM

A B C D F E 60o 60o

a, Ta có :

EC // FD

\(EC=FD=\frac{4}{2}BC=\frac{1}{2}AD\)

=> ECDF là hình bình hành 

\(EF=AB=\frac{1}{2}BC\)

=> ECDF là hình thoi

b, \(\widehat{A} =60^o\)

\(\Rightarrow D=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{EDF}=120^o:2=60^o\)

Mà BE // AD

==> BEDA là hình thang cân 

c, Xét tam giác AFE : AF = EF --- > góc AFE

BEFA là hình thoi 

==> AE là tia phân giác của \(\widehat{BAE}\Rightarrow\widehat{EAF}=30^o\)  

Mà EDA = 60^o

=> Trong tam giác EAD = 180^o = \(\widehat{EAF}+\widehat{ADE}+\widehat{EAD}\)

                                                 \(=30^o+60^o+\widehat{EAD}\)

                                                 \(\Rightarrow\widehat{AED}=60^o\)    

Tftc

\(\frac{x-5}{3}-\frac{x-3}{5}=\frac{5}{x-3}-\frac{3}{x+5}\)

\(\left(x-5\right)5-3\left(x-3\right)=5\left(x+5\right)-3\left(x-3\right)\)

\(5x-25-3x+9=5x+25-3x+9\)

\(2x-16=2x+34\)

\(2x-2x=34+16\)

\(0=34+16\)

Vậy pt vô nghiệm