\(a,\)Vì \(a< b\Rightarrow a-b< 0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\)

Mà \(a,b>0\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)

\(\Rightarrow\sqrt{a}< \sqrt{b}\left(đpcm\right)\)

\(b,\)Ta có:\(a\ge0;b>0\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)

Vì\(\sqrt{a}< \sqrt{b}\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)(1)

Nhân hai vế của (1) với \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).Mà theo cmt thì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)nên khi nhân vào thì dấu của BPT (1) không đổi chiều

\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2< 0\)

\(\Leftrightarrow a-b< 0\)

\(\Rightarrow a< 0\left(đpcm\right)\)

A B C H E F

a) Sử dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ABH; ACH và ABC

\(AB.BE=BH^2;AC.CF=CH^2\)

\(AB^2=BH.BC;AC^2=CH.BC\)

=> \(\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{BE}{CF}\)

<=> \(\frac{AB^4}{AC^4}=\frac{BE.AB}{CF.AC}=\frac{BH^2}{CH^2}\)

<=> \(\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{CH}\)

<=> \(\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}\)

<=> \(\frac{BH}{CH}=\frac{BH}{CH}\) đúng

Vậy ta có điều phải chứng minh là đúng

b) 

Ta có: \(AH^2=BH.CH\)

=> \(AH^4=BH^2.CH^2=BE.AB.CF.AC=BE.CF.AB.AC=BE.CF.AH.BC\)

=> \(AH^3=BC.BE.CF\)

c)   

Xét tam giác vuông BEH và tam giác vuông HFC

có: ^EBH =^FHC ( cùng phụ góc FCH)
=> Tam giác BEH đồng dạng tam giác HFC

=> \(\frac{BE}{HF}=\frac{EH}{FC}\Rightarrow BE.FC=EH.FH\)

=> \(AH^3=BC.HE.HF\)

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\forall n\)(vì đó là tích 3 số tự nhiên liên tiếp).

#)Giải :

a)\(ab\left(b-a\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)\)

\(=a\left(a-b\right)+b^2c-bc^2+ac^2-a^2c\)

\(=ab\left(a-b\right)-\left(a-b\right)\left(a+b\right)c+c^2\left(a-b\right)\)

\(=\left(ab-ac-bc+c^2\right)\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)

b) \(a^2\left(b-c\right)-b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)\)

\(=a^2\left(b-c\right)-b^2\left[\left(b-c\right)+\left(a-b\right)\right]+c^2\left(a-b\right)\)

\(=a^2\left(b-c\right)-b^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-b\right)+c^2\left(a-b\right)\)

\(=\left(a^2-b^2\right)\left(b-c\right)-\left(b^2-c^2\right)\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(b-c\right)-\left(b-c\right)\left(b+c\right)\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)

\(A=\left(\frac{2x+1}{2x-1}-\frac{2x-1}{2x+1}\right):\frac{4x}{10-5}\)

\(A=\frac{\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)-\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}:\frac{4x}{10-5}\)

\(A=\frac{\left(2x+1\right)^2-\left(2x-1\right)^2}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}:\frac{4x}{10-5}\)

\(A=\frac{\left(2x\right)^2+2.2x+1-\left(2x\right)^2+2.2x-1}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}:\frac{4}{10-5}\)

\(A=\frac{\left(2x\right)^2+4x+1-\left(2x\right)^2+4x-1}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}:\frac{4x}{10-5}\)

\(A=\frac{\left[\left(2x\right)^2-\left(2x\right)^2\right]+\left(4x+4x\right)+\left(1-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}:\frac{4x}{10-5}\)

\(A=\frac{8x}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}:\frac{4x}{10-5}\)

\(A=\frac{8x}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}:\frac{4x}{5}\)

\(A=\frac{8x}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}:\left(4x.5\right)\)

\(A=\frac{8x}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}:20x\)

\(A=\frac{8x}{20x\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\)

\(A=\frac{8}{20\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\)

\(A=\frac{2}{5\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}\)