A = 100² - 99² + 98² - 97² + ...... + 2² - 1²

= ( 100 - 99 ) ( 100 + 99 ) + ( 98 - 97 ) ( 98 + 97 ) + ......... + ( 2 - 1 ) ( 2 + 1 )

= 1 + 2 + 3 + ......... + 99 + 100

= ( 100 + 1 ) . 100 : 2 = 5050 

 B = 3 ( 2² + 1 ) ( 2⁴ + 1 ) ... ( 2⁶⁴ + 1 ) + 1²

= ( 2² - 1 ) ( 2² + 1 ) ( 2⁴ + 1 ) ... ( 2⁶⁴ + 1 ) + 1

= ( 2⁴ - 1 ) ( 2⁴ + 1 ) ... ( 2⁶⁴ + 1 ) + 1

= ( 2⁸ - 1 ) ( 2⁸ + 1 ) ... ( 2⁶⁴ + 1 ) + 1

= ( 2¹⁶ - 1 ) ( 2¹⁶ + 1 ) ... ( 2⁶⁴ + 1 ) + 1

= ( 2³² - 1 ) ( 2³² + 1 ) ( 2⁶⁴ + 1 ) + 1

= ( 2⁶⁴ - 1 ) ( 2⁶⁴ + 1 ) + 1

= 2¹²⁸ - 1 + 1 

= 2¹²⁸

C = ( a + b + c )² + ( a + b - c )² - 2 ( a + b )²

= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca + a² + ab - ac + ab + b² - bc - ac - bc + c² - 2 ( a² + 2ab + b² )

= a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca + a² + ab - ac + ab + b² - bc - ac - bc + c² - 2a² - 4ab - 2b²

= 2c²

Bài làm:

a) \(A=100^2-99^2+98^2-97^2+...+2^2-1^2\)

\(A=\left(100-99\right)\left(100+99\right)+\left(98-97\right)\left(98+97\right)+...+\left(2-1\right)\left(2+1\right)\)

\(A=100+99+98+97+...+2+1\)

\(A=\frac{\left(100+1\right)\times100}{2}=5050\)

b) \(B=3\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)...\left(2^{64}+1\right)+1^2\)

\(B=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)...\left(2^{64}+1\right)+1\)

\(B=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)...\left(2^{64}+1\right)+1\)

...

\(B=\left(2^{64}-1\right)\left(2^{64}+1\right)+1\)

\(B=2^{128}-1+1=2^{128}\)

c) \(C=\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b-c\right)^2-2\left(a+b\right)^2\)

\(C=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2+2\left(ab-bc-ca\right)-2a^2-4ab-2b^2\)

\(=2c^2+2\left(ab+bc+ca+ab-bc-ca-2ab\right)\)

\(=2c^2+2.0=2c^2\)

Bạn viết biểu thức A ra đi rồi bọn mình mới làm được chứ -.-

Đk : \(x\ne\pm3\)

Để B>A

\(\Leftrightarrow\frac{3}{x+3}>4\)

Rõ ràng: \(x+3>0\)

\(\Rightarrow\frac{3}{x+3}>4\)

\(\Leftrightarrow3>4\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow3>4x+12\)

\(\Leftrightarrow-9>4x\)

\(\Leftrightarrow x< \frac{-9}{4}\)

KL: \(x\in Z,x< \frac{-9}{4},x\ne\pm3\)

do bán kính hình tròn b.......hình tròn a nên chu vi b gấp 3 lần a

mà mỗi khi lăn 1 vòng thì tương đương 1 chu vi

vậy phải lăn 3 vòng

Vì bán kính hình tròn B gấp 3 lần bán kính hình tròn A

=> Chu vi của hình tròn B cũng gấp 3 lần chu vi của hình tròn A.

Mà mỗi khi lăn được một vòng thì hình tròn A  đi được bằng với chu vi của nó

Vậy ,A phải thực hiện 3 vòng quay để quay lại điểm xuất phát.

a) x( x - 1 ) < 0

1/ \(\hept{\begin{cases}x>0\\x-1< 0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x< -1\end{cases}}\)( loại )

2/ \(\hept{\begin{cases}x< 0\\x-1>0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x< 0\\x>-1\end{cases}\Rightarrow}-1< x< 0\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là -1 < x < 0

b) ( x - 2 )( x - 5 ) > 0

1/ \(\hept{\begin{cases}x-2>0\\x-5>0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>2\\x>5\end{cases}}\Rightarrow x>5\)

2/ \(\hept{\begin{cases}x-2< 0\\x-5< 0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 2\\x< 5\end{cases}}\Rightarrow x< 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x > 5 hoặc x < 2

c) ( x + 5 )( 7 - 2x ) > 0

1/ \(\hept{\begin{cases}x+5>0\\7-2x>0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>-5\\x< \frac{7}{2}\end{cases}\Rightarrow}-5< x< \frac{7}{2}\)

2/ \(\hept{\begin{cases}x+5< 0\\7-2x< 0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< -5\\x>\frac{7}{2}\end{cases}}\)( loại )

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là -5 < x < 7/2

d) ( 2x + 1 )( x - 3 ) < 0

1/ \(\hept{\begin{cases}2x+1>0\\x-3< 0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>-\frac{1}{2}\\x< 3\end{cases}}\Rightarrow-\frac{1}{2}< x< 3\)

2/ \(\hept{\begin{cases}2x+1< 0\\x-3>0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< -\frac{1}{2}\\x>3\end{cases}}\)( loại )

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là -1/2 < x < 3

e) x² - 6x < 0 

<=> x( x - 6 ) < 0

1/ \(\hept{\begin{cases}x>0\\x-6< 0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x< 6\end{cases}}\Rightarrow0< x< 6\)

2/ \(\hept{\begin{cases}x< 0\\x-6>0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 0\\x>6\end{cases}}\)( loại )

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 0 < x < 6

f) ( 2 - x )( x + 3 ) > 0

1/ \(\hept{\begin{cases}2-x>0\\x+3>0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 2\\x>-3\end{cases}}\Rightarrow-3< x< 2\)

2/ \(\hept{\begin{cases}2-x< 0\\x+3< 0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>2\\x< -3\end{cases}}\)( loại )

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là -3 < x < 2

Đặt x² + x + 1 = k²

<=> 4x² + 4x + 4 = 4k²

<=> 4k² - 4x² - 4x + 1 - 5 = 0

<=> (2k)² - (2x -1)² = 5

<=> (2k + 2x -1)(2k - 2x - 1) = 5

Vì x, k nguyên nên ta có các trường hợp:

\(TH_1\hept{\begin{cases}2k+2x-1=5\\2k-2x-1=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\k=2\end{cases}}}\)

\(TH_2\hept{\begin{cases}2k+2x-1=1\\2k-2x-1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\k=2\end{cases}}}\)

\(TH_3\hept{\begin{cases}2k+2x-1=-1\\2k-2x-1=-5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\k=-1\end{cases}}}\)

\(TH_4\hept{\begin{cases}2k+2x-1=-5\\2k-2x-1=-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\k=-1\end{cases}}}\)

Vậy các số nguyên x là ( -1; 1 )

đặt \(x^2+x+23=k^2\left(k\in N\right)\Leftrightarrow4x^2+4x+92=4k^2\Leftrightarrow4k^2-\left(2x+1\right)^2=91\)

\(\Leftrightarrow\left(2k-2x-1\right)\left(2k+2x+1\right)=91\)

vì 2k+2x+1>2k-2x-1>0 nên xảy ra 2 trường hợp sau

th1 2k+2x+1=91 và 2k-2x-1=1 => x=22

th2 2k+2x+1=1 và 2k-2x-1=7 => x=1

vậy x=22; x=1 thì \(\sqrt{x^2+x+3}\)là số hữu tỉ

\(\left(x+7\right)^2+3\left(x+y\right)^2\)

\(=\left(x+7\right)^2+108\)

\(\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-\left(x-1\right)^3+7\)

\(=x^3-8-\left(x^3-3x^2+3x-1\right)+7\)

\(=x^3-8+7-x^3+3x^2-3x+1\)

\(=\left(x^3-x^3\right)+\left(7+1-8\right)+3x^2-3x\)

\(=3x^2-3x=3x\left(x-1\right)\)

\(x\left(x+2\right)\left(2-x\right)+\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)

\(=x\left(2+x\right)\left(2-x\right)+\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)

\(=x\left(4-x^2\right)+\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\)

\(=4x-x^3+\left(x^3+9\right)\)

\(=4x-\left(x^3-x^3\right)+9\)

\(=4x+9\)

Để AA là số chính phương ⇒26n+17=t2(t∈N)⇒26n+17=t2(t∈N)

⇒26n+13=t2−4⇒26n+13=t2−4

⇒13(2n+1)=(t−2)(t+2)(1)⇒13(2n+1)=(t−2)(t+2)(1)

⇒(t−2)(t+2)⋮13⇒(t−2)(t+2)⋮13⇒⎡⎣t−2⋮13t+2⋮13⇒[t−2⋮13t+2⋮13

*)Xét t+2⋮13⇒t+2=13m(m∈N)t+2⋮13⇒t+2=13m(m∈N)⇒t=13m−2⇒t=13m−2

Thay vào (1)(1)⇒13(2n+1)=13m(13m−4)⇒13(2n+1)=13m(13m−4)

⇒2n+1=m(13m−4)⇒n=13m2−4m−12⇒2n+1=m(13m−4)⇒n=13m2−4m−12

*)Xét t−2⋮13⇒t−2=13m(m∈N)t−2⋮13⇒t−2=13m(m∈N)⇒t=13m+2⇒t=13m+2

Thay vào (1)(1)⇒13(2n+1)=13m(13m+4)⇒13(2n+1)=13m(13m+4)

⇒2n+1=m(13m+4)⇒2n+1=m(13m+4)⇒n=13m2+4m−12⇒n=13m2+4m−12

Vậy.....

chúc bạn hok tốt

đặt \(\hept{\begin{cases}n+5=x^2\\n+30=y^2\end{cases}\left(x;y\in N;x,y>0\right)}\)

\(\Leftrightarrow y^2-x^2=25\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(y+x\right)=1.25\)(vì x,y thuộc N, x,y>0)

lại có y-x<y+x nên \(\hept{\begin{cases}y+x=1\\y+x=25\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=13\\x=12\end{cases}}}\)

thay vào ta được n=139 thỏa mãn