TH1 : Xét \(x< -2\)

\(\Leftrightarrow\left|x+2\right|+\left|7-x\right|=3x+4\)

\(\Leftrightarrow-x-2+7-x=3x+4\)

\(\Leftrightarrow-2x+5=3x+4\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\)( loại )

TH2 : Xét \(-2< x< 7\)

\(\Leftrightarrow\left|x+2\right|+\left|7-x\right|=3x+4\)

\(\Leftrightarrow x+2+7-x=3x+4\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{5}{3}\left(TM\right)\)

TH3 : Xét \(x\ge7\)

\(\Rightarrow x+2+7+x=3x+4\)

\(\Leftrightarrow x=-9\)( loại )

Nếu \(x< -2\)

\(\rightarrow-\left(x+2\right)+\left(7-x\right)=3x+4\)

\(\Leftrightarrow-x-2+7-x-3x-4=0\)

\(\Leftrightarrow-5x=-1\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\left(ktm\right)\)

Nếu \(-2\le x\le7\\ \rightarrow\left(x+2\right)+\left(7-x\right)=3x+4\)

\(\Leftrightarrow x+2+7-x=3x+4\)

\(\Leftrightarrow9-4=3x\\ \Leftrightarrow5=3x\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{5}{3}\left(tm\right)\)

Nếu \(x>7\)

\(\rightarrow\left(x+2\right)-\left(7-x\right)=3x+4\)

\(\Leftrightarrow x+2-7+x=3x+4\)

\(\Leftrightarrow2x-5=3x+4\\ \Leftrightarrow x=-9\left(ktm\right)\)

Vậy, \(S=\left\{\frac{5}{3}\right\}\)

@Cừu

\(\frac{-3x+5}{2}< 1\Leftrightarrow\frac{-3x+5}{2}-1< 0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-3x+5-2}{2}< 0\Leftrightarrow\frac{-3x+3}{2}< 0\)

\(\Rightarrow-3x+3< 0\)vì 2 > 0 

\(\Leftrightarrow-3\left(x-1\right)< 0\Leftrightarrow x-1>0\Leftrightarrow x>1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = { x | x > 1 }

a) Xét \(\Delta HBA\)và \(\Delta ABC\)có:

\(\widehat{ABC}\)chung.

\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\).

\(\Rightarrow\Delta HBA~\Delta ABC\left(g.g\right)\).

\(\Rightarrow\frac{AB}{CB}=\frac{HB}{AB}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow AB.AB=HB.BC\).

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\)(điều phải chứng minh).

Nhầm.

a) Xét \(\Delta MBN\) và \(\Delta ABC\)có:

\(\widehat{NBC}\)chung.

\(\widehat{BMN}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\).

\(\Rightarrow\Delta MBN~\Delta ABC\left(g.g\right)\)(điều phải chứng minh).

a) Xét \(\Delta EBD\)và \(\Delta ECA\)có:

\(\widehat{BEC}\)chung.

\(\widehat{EDB}=\widehat{EAC}\left(=90^0\right)\).

\(\Rightarrow\Delta EBD~\Delta ECA\left(g.g\right)\).(điều phải chứng minh).

\(\Rightarrow\frac{ED}{EA}=\frac{EB}{EC}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow ED.EC=EA.EB\)(điều phải chứng minh).

3x³ + 3x² - 3x = 3x( x² + x - 1 )

 3x³+3x²-3x=  3x . (x²+3x-3)

b) Ta có: \(\frac{AE}{FE}=\frac{DE}{BE}\)(theo cau a)).

\(\Rightarrow\frac{AE}{FE+AE}=\frac{DE}{BE+DE}\)(tính chất của tỉ lệ thức).

\(\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{DE}{BD}\)(4).

Lại có: \(\frac{KE}{AE}=\frac{DE}{BE}\)(theo câu a)).

\(\Rightarrow\frac{AE}{KE}=\frac{BE}{DE}\)(tính chất của tỉ lệ thức).

\(\Rightarrow\frac{AE}{KE+AE}=\frac{BE}{DE+BE}\)(tính chất của tỉ lệ thức).

\(\Rightarrow\frac{AE}{AK}=\frac{BE}{BD}\)(5).

Từ (4) và (5).

\(\Rightarrow\frac{AE}{AF}+\frac{AE}{AK}=\frac{DE}{BD}+\frac{BE}{BD}\).

\(\Rightarrow AE\left(\frac{1}{AF}+\frac{1}{AK}\right)=\frac{DE+BE}{BD}\).

\(\Rightarrow AE\left(\frac{1}{AF}+\frac{1}{AK}\right)=\frac{BD}{BD}\).

\(\Rightarrow AE\left(\frac{1}{AF}+\frac{1}{AK}\right)=1\).

\(\Rightarrow\frac{1}{AF}+\frac{1}{AK}=\frac{1}{AE}\)(điều phải chứng minh).

Trên tia đối của tia AC kẻ tia Ax.

Do đó AD là phân giác ngoài của \(\widehat{BAx}\).

Trên tia đối của tia AD lấy tia Ay. Lấy điểm F thuộc ia Ay sao cho \(\widehat{DCF}=\widehat{DAB}\)hay \(\widehat{DCF}=\widehat{A_2}\)

Xét \(\Delta BAD\)và \(\Delta FCD\)có:

\(\widehat{A_2}=\widehat{DCF}\)(hình vẽ trên).

\(\widehat{CDF}\)chung.

\(\Rightarrow\Delta BAD~\Delta FCD\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\)(2 góc tương ứng).

Và \(\frac{BD}{FD}=\frac{AD}{CD}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow BD.CD=FD.AD\left(1\right)\)

Ta lại có: \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)(vì AD là phân giác của \(\widehat{BAx}\)).

Mà \(\widehat{A_1}=\widehat{A_3}\)(vì đối đỉnh).

\(\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{A_3}\left(=\widehat{A_1}\right)\)

Xét \(\Delta BAD\)và \(\Delta FAC\)có:

\(\widehat{B_1}=\widehat{F_1}\)(chứng minh trên).

\(\widehat{A_2}=\widehat{A_3}\)(chứng minh trên).

\(\Rightarrow\Delta BAD~\Delta FAC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AF}\)(tỉ số đồng dạng).

\(\Rightarrow AD.AF=AB.AC\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\).

\(\Rightarrow FD.AD-AD.AF=BD.CD-AB.AC\)

\(\Rightarrow BD.CD-AB.AC=AD\left(FD-AF\right)\)

\(\Rightarrow BD.CD-AB.AC=AD.AD\)

\(\Rightarrow BD.CD-AB.AC=AD^2\)(điều phải chứng minh).

a) Vì \(\Delta ABC\) vuông tại A (giả thiết).

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=BC^2\)(định lí Py-ta-go).

\(\Rightarrow6^2+8^2=BC^2\)(thay số).

\(\Rightarrow BC^2=36+64=100\)

\(\Rightarrow BC=10\left(cm\right)\)(vì \(BC>0\)).

Xét \(\Delta ABC\)có phân giác BD (giả thiết).

\(\Rightarrow\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{CB}\)(tính chất).

\(\Rightarrow\frac{AD}{CD+AD}=\frac{AB}{CB+AB}\)(tính chất của tỉ lệ thức).

\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{BC+BA}\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{8}=\frac{6}{6+10}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\)(thay số).

\(\Rightarrow AD=\frac{3}{8}.8=3\left(cm\right)\)

Do đó \(CD=AC-AD=8-3=5\left(cm\right)\)

Vậy \(AD=3\left(cm\right),CD=5\left(cm\right)\)