\(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1\cdot2}=1-\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\)

...

\(\dfrac{1}{55^2}< \dfrac{1}{54\cdot55}=\dfrac{1}{54}-\dfrac{1}{55}\)

Do đó: \(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{55^2}< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{54}-\dfrac{1}{55}\)

=>\(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{55^2}< 1\)

=>\(\dfrac{4}{2^2}+\dfrac{4}{3^2}+...+\dfrac{4}{55^2}< 4\)

\(\dfrac{x-1}{4}=\dfrac{2}{x}\)

=>\(x\left(x-1\right)=2\cdot4\)

=>\(x^2-x-8=0\)(1)

\(\text{Δ}=\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-8\right)=1+32=33>0\)

Do đó: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{1-\sqrt{33}}{2}\\x_2=\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:
\(S=\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+....+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\\ 3S=1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{3^3}+....+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\\ \Rightarrow S+3S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow 4S+\frac{100}{3^{100}}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...-\frac{1}{3^{99}}\)

\(3(4S+\frac{100}{3^{100}})=3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+....-\frac{1}{3^{98}}\)

\(\Rightarrow 4(4S+\frac{100}{3^{100}})=3-\frac{1}{3^{99}}\)

\(S=\frac{3}{16}-\frac{1}{16.3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}< \frac{3}{16}< \frac{1}{5}\)

\(C=\dfrac{5}{2.4}+\dfrac{5}{4.6}+\dfrac{5}{6.8}+...+\dfrac{5}{48.50}\)

Đặt \(C=\dfrac{5}{2}.\left(\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{4.6}+\dfrac{1}{6.8}+...+\dfrac{1}{48.50}\right)\)

\(C=\dfrac{5}{2}.\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{48}-\dfrac{1}{50}\right)\)

\(C=\dfrac{5}{2}.\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{50}\right)\)

\(C=\dfrac{5}{2}.\left(\dfrac{25}{50}-\dfrac{1}{50}\right)\)

\(C=\dfrac{5}{2}.\dfrac{24}{50}\)

\(C=\dfrac{12}{10}=\dfrac{6}{5}\)

Vậy \(C=\dfrac{6}{5}\)

\(3\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+5\left(x+\dfrac{3}{5}\right)=-x+\dfrac{1}{5}\)

=>\(\dfrac{3}{2}+5x+3=-x+\dfrac{1}{5}\)

=>\(5x+4,5=-x+0,2\)

=>6x=-4,3

=>\(x=-\dfrac{43}{60}\)

\(A=\dfrac{1}{2\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot6}+...+\dfrac{1}{2022\cdot2024}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{2\cdot4}+\dfrac{2}{4\cdot6}+...+\dfrac{2}{2022\cdot2024}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{2022}-\dfrac{1}{2024}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2024}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1011}{2024}=\dfrac{1011}{4048}\)

\(A=\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{4.6}+\dfrac{1}{6.8}+...+\dfrac{1}{2022.2024}\)

\(A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{2022}-\dfrac{1}{2024}\)

\(A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2024}\)

\(A=\dfrac{1012}{2024}-\dfrac{1}{2024}\)

\(A=\dfrac{1211}{2024}\)

Vậy \(A=\dfrac{1211}{2024}\)

Đề bài là gì vậy bạn. Bạn ghi rõ ra để mọi người hỗ trợ nhé.

a: Trên tia Oy, ta có: OB<OC

nên B nằm giữa O và C

=>OB+BC=OC

=>BC+1=7

=>BC=6(cm)

Vì OA và OB là hai tia đối nhau

nên O nằm giữa A và B

=>AB=OA+OB=2+1=3(cm)

b: D là trung điểm của BC

=>\(BD=\dfrac{BC}{2}=3\left(cm\right)\)

Vì BD=BA(=3cm)

nên B là trung điểm của AD

\(A=1+2+2^2+...+2^{2015}\)

=>\(2A=2+2^2+...+2^{2016}\)

=>\(2A-A=2+2^2+...+2^{2016}-1-2-...-2^{2015}\)

=>\(A=2^{2016}-1\)

Câu 3: Số đường thẳng vẽ được từ n điểm là: \(\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}\)

Theo đề, ta có: \(\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}=105\)

=>n(n-1)=210

=>\(n^2-n-210=0\)

=>(n-15)(n+14)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}n=15\left(nhận\right)\\n=-14\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

vậy: n=15

Câu 4:

Gọi số học sinh của trường đó là x(bạn)

(Điều kiện: \(x\in Z^+;400< =x< =450\))

\(27=3^3;36=3^2\cdot2^2\)

=>\(BCNN\left(27;36\right)=3^3\cdot2^2=108\)

Vì số học sinh khi xếp 27 hoặc 36 hàng thì đều thừa 11 bạn nên \(x-11\in BC\left(27;36\right)\)

mà 400<=x<=450

nên x-11=432

=>x=443(nhận)

vậy: Số học sinh của trường là 443 bạn