Ta có : -3x² - 4x + 2

= -3( x² + 4/3x + 4/9 ) + 10/3

= -3( x + 2/3 )² + 10/3 ≤ 10/3 ∀ x

Dấu "=" xảy ra khi x = -2/3

=> GTNN của biểu thức = 10/3 <=> x = -2/3

f(x) = x²⁰¹⁴ + 2x²⁰¹³ + 5x²⁰¹¹ - ax¹⁰⁰⁰ + x⁵⁰⁰ + bx + 2

h(x) = x² - 1 = ( x - 1 )( x + 1 )

Để f(x) chia hết cho h(x) thì

( x²⁰¹⁴ + 2x²⁰¹³ + 5x²⁰¹¹ - ax¹⁰⁰⁰ + x⁵⁰⁰ + bx + 2 ) chia hết cho ( x - 1 )( x + 1 )

=> \(\hept{\begin{cases}\left(x^{2014}+2x^{2013}+5x^{2011}-ax^{1000}+x^{500}+bx+2\right)⋮\left(x-1\right)\left[1\right]\\\left(x^{2014}+2x^{2013}+5x^{2011}-ax^{1000}+x^{500}+bx+2\right)⋮\left(x+1\right)\left[2\right]\end{cases}}\)

Áp dụng định lí Bézout vào [ 1 ] ta có :

f(x) chia hết cho ( x - 1 ) <=> f(1) = 0

=> 1²⁰¹⁴ + 2.1²⁰¹³ + 5.1²⁰¹¹ - a.1¹⁰⁰⁰ + 1⁵⁰⁰ + b.1 + 2 = 0

=> b - a + 11 = 0

=> b - a = -11 (1)

Áp dụng định lí Bézout vào [ 2 ] ta có :

f(x) chia hết cho x + 1 <=> f(-1) = 0

=> (-1)²⁰¹⁴ + 2.(-1)²⁰¹³ + 5.(-1)²⁰¹¹ - a.(-1)¹⁰⁰⁰ + (-1)⁵⁰⁰ + b.(-1) + 2 = 0

=> -b - a - 3 = 0

=> -b - a = 3 (2)

Từ (1) và (2) => \(\hept{\begin{cases}b-a=-11\\-b-a=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=4\\b=-7\end{cases}}\)

Vậy a = 4 ; b = -7

\(P=-5x^2-5y^2-8xy+2x-2y+2020\)

\(P=-4x^2-8xy-4y^2-\left(x^2-2x+1\right)-\left(y^2+2x+1\right)+2022\)

\(P=-4\left(x+y\right)^2-\left(x-1\right)^2-\left(y+1\right)^2+2022\le2022\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\x-1=0\\y+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}}\). 

ta có

\(4x^2+4x+12=4y^2\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+11=4y^2\)

\(\Leftrightarrow11=\left(2y\right)^2-\left(2x+1\right)^2=\left(2x+2y+1\right)\left(2y-2x-1\right)\)

vậy 2x+2x+1 và 2y-2x-1 là ước của 11

do x, y là số tư nhiên nên 2x+2x+1> 2y-2x-1 do đó \(\hept{\begin{cases}2x+2y+1=11\\2y-2x-1=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

x,y thuộc Z nhé mn

\(M=\frac{x^2-2x+2021}{x^2}\Rightarrow Mx^2=x^2-2x+2021\Leftrightarrow\left(M-1\right)x^2+2x-2021=0\)(*)

\(\Delta'=1+2021\left(M-1\right)=2021M-2020\)

Để phương trình (*) có nghiệm thì \(\Delta'\ge0\Rightarrow2021M-2020\ge0\Leftrightarrow M\ge\frac{2020}{2021}\).

Với \(M=\frac{2020}{2021}\)thì (*) có nghiệm \(x=2021\).

Vậy \(minM=\frac{2020}{2021}\)đạt tại \(x=2021\).

đề bài thiếu đấy các bạn mk đánh nhầm

\(a^4+b^4+c^4+d^4=\left(a^4+b^4\right)+\left(c^4+d^4\right)\)

Vì \(a^4\ge0\forall a\); \(b^4\ge0\forall b\)

\(\Rightarrow\)Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số không âm ta có:

\(a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4.b^4}=2a^2b^2\)

Tương tự ta có: \(c^4+d^4\ge2c^2d^2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)(1)

Vì \(2a^2b^2\ge0\); \(2c^2d^2\ge0\)\(\forall a,b,c,d\)

\(\Rightarrow\)Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số không âm ta có: 

\(2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\sqrt{2a^2b^2.2c^2d^2}=2\sqrt{4a^2b^2c^2d^2}=4abcd\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)( đpcm )

ta có \(2x^2+2x+3=2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{2}\ge\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow A=\frac{3}{2x^2+2x+3}\le\frac{3.2}{5}=\frac{6}{5}\)

dấu bằng xảy ra khi \(x=-\frac{1}{2}\)