\(P=-5x^2-5y^2-8xy+2x-2y+2020\)

\(P=-4x^2-8xy-4y^2-\left(x^2-2x+1\right)-\left(y^2+2x+1\right)+2022\)

\(P=-4\left(x+y\right)^2-\left(x-1\right)^2-\left(y+1\right)^2+2022\le2022\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\x-1=0\\y+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}}\). 

ta có

\(4x^2+4x+12=4y^2\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2+11=4y^2\)

\(\Leftrightarrow11=\left(2y\right)^2-\left(2x+1\right)^2=\left(2x+2y+1\right)\left(2y-2x-1\right)\)

vậy 2x+2x+1 và 2y-2x-1 là ước của 11

do x, y là số tư nhiên nên 2x+2x+1> 2y-2x-1 do đó \(\hept{\begin{cases}2x+2y+1=11\\2y-2x-1=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

x,y thuộc Z nhé mn

\(M=\frac{x^2-2x+2021}{x^2}\Rightarrow Mx^2=x^2-2x+2021\Leftrightarrow\left(M-1\right)x^2+2x-2021=0\)(*)

\(\Delta'=1+2021\left(M-1\right)=2021M-2020\)

Để phương trình (*) có nghiệm thì \(\Delta'\ge0\Rightarrow2021M-2020\ge0\Leftrightarrow M\ge\frac{2020}{2021}\).

Với \(M=\frac{2020}{2021}\)thì (*) có nghiệm \(x=2021\).

Vậy \(minM=\frac{2020}{2021}\)đạt tại \(x=2021\).

đề bài thiếu đấy các bạn mk đánh nhầm

\(a^4+b^4+c^4+d^4=\left(a^4+b^4\right)+\left(c^4+d^4\right)\)

Vì \(a^4\ge0\forall a\); \(b^4\ge0\forall b\)

\(\Rightarrow\)Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số không âm ta có:

\(a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4.b^4}=2a^2b^2\)

Tương tự ta có: \(c^4+d^4\ge2c^2d^2\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge2a^2b^2+2c^2d^2\)(1)

Vì \(2a^2b^2\ge0\); \(2c^2d^2\ge0\)\(\forall a,b,c,d\)

\(\Rightarrow\)Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số không âm ta có: 

\(2a^2b^2+2c^2d^2\ge2\sqrt{2a^2b^2.2c^2d^2}=2\sqrt{4a^2b^2c^2d^2}=4abcd\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)( đpcm )

ta có \(2x^2+2x+3=2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{2}\ge\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow A=\frac{3}{2x^2+2x+3}\le\frac{3.2}{5}=\frac{6}{5}\)

dấu bằng xảy ra khi \(x=-\frac{1}{2}\)

Cứ phân tích ra thôi :) Nhưng hơi dài ==

ĐKXĐ : n ∈ Z

n⁵ - 5n³ + 4n

= n( n⁴ - 5n² + 4 )

= n( n⁴ - 2n³ + 2n³ - 4n² - n² + 2n - 2n + 4 )

= n[ ( n⁴ - 2n³ ) + ( 2n³ - 4n² ) - ( n² - 2n ) - ( 2n - 4 ) ]

= n[ n³( n - 2 ) + 2n²( n - 2 ) - n( n - 2 ) - 2( n - 2 )

= n( n - 2 )( n³ + 2n² - n - 2 )

= n( n - 2 )[ ( n³ + 2n² ) - ( n + 2 ) ] 

= n( n - 2 )[ n²( n + 2 ) - ( n + 2 ) ]

= n( n - 2 )( n + 2 )( n² - 1 )

= n( n - 2 )( n + 2 )( n - 1 )( n + 1 )

= ( n - 2 )( n - 1 )n( n + 1 )( n + 2 )

Vì n ; n + 1 là hai số nguyên liên tiếp => Chia hết cho 2 (1) 

    n - 1 ; n ; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp => Chia hết cho 3 (2)

    n - 2 ; n - 1 ; n ; n + 1 là bốn số nguyên liên tiếp => Chia hết cho 4 (3)

    n - 2 ; n - 1 ; n ; n + 1 ; n + 2 là năm số nguyên liên tiếp => Chia hết cho 5 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) => ( n - 2 )( n - 1 )n( n + 1 )( n + 2 ) chia hết cho 2.3.4.5 = 120

hay n⁵ - 5n³ + 4n chia hết cho 120 ( đpcm )

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác => a,b,c > 0

Sử dụng HĐT a³ + b³ = ( a + b )³ - 3ab( a + b )

a³ + b³ + c³ = 3abc

⇔ a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

⇔ ( a³ + b³ ) + c³ - 3abc = 0

⇔ ( a + b )³ - 3ab( a + b ) + c³ - 3abc = 0

⇔ [ ( a + b )³ + c³ ] - [ 3ab( a + b ) + 3abc ] = 0

⇔ ( a + b + c )[ ( a + b )² - ( a + b ).c + c² ] - 3ab( a + b + c ) = 0

⇔ ( a + b + c )( a² + 2ab + b² - ac - bc + c² - 3ab ) = 0

⇔ ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - bc - ac ) = 0

⇔ \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{cases}}\)

Vì a,b,c > 0 => a + b + c > 0 => a + b + c = 0 không thể xảy ra

Xét trường hợp còn lại ta có :

a² + b² + c² - ab - bc - ac = 0

⇔ 2( a² + b² + c² - ab - bc - ac ) = 2.0

⇔ 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ac = 0

⇔ ( a² - 2ab + b² ) + ( b² - 2bc + c² ) + ( a² - 2ac + c² ) = 0

⇔ ( a - b )² + ( b - c )² + ( a - c )² = 0

VT luôn ≥ 0 ∀ a,b,c . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Kết hợp với điều kiện => a = b = c > 0

=> Tam giác đó là tam giác đều

Gọi ba số cần tìm là n ; n + 1 ; n + 2 ( n ∈ N )

Theo đề bài ta có : ( n + 1 )( n + 2 ) - n( n + 1 ) = 4040

                          ⇔ n² + 3n + 2 - n² - n = 4040

                          ⇔ 2n + 2 = 4040

                          ⇔ 2n = 4038

                          ⇔ n = 2019 ( tm )

=> n = 2019 ; n + 1 = 2020 ; n + 2 = 2021

Vậy ba số cần tìm là 2019 ; 2020 ; 2021