Tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x}\) với  \(x\ge3\).

(Hà Nội)

Cho \(x,y>0\) thỏa mãn điều kiện  \(x-\sqrt{x+6}=\sqrt{y+6}-y\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(P=x+y\).

(Bắc Giang)

Cho \(a,b,c\) là ba số dương. Chứng minh rằng

     \(\frac{9a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{64c}{a+b}>30\).

(Bắc Giang)

Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện   \(xy+yz+zx=2016\). Chứng minh rằng

    \(\sqrt{\frac{yz}{x^2+2016}}+\sqrt{\frac{zx}{y^2+2016}}+\sqrt{\frac{xy}{z^2+2016}}\le\frac{3}{2}\).

(Bình Định)

Cho      \(A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}\)

và        \(B=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{35}}\).

Chứng minh rằng       \(B>A\).

(Bình Định)

Cho  \(a,b,c\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện   \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng

      \(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge6\).

(Hải Phòng)

Cho \(a,b,c\) là ba số dương. Chứng minh rằng

      \(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\).

(Hà Nam)

Cho \(x,y\) là hai số dương thỏa mãn điều kiện    \(x+3y\le10\). Chứng minh rằng

     \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\).

Khi nào xảy ra đẳng thức?