Đặt \(A=\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\)

Ta có:

\(x^2+xy+yz+zx=x+xyz=x\left(x+yz\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x\left(x+yz\right)}{x}=\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}\)

\(\Leftrightarrow x+yz=\frac{x^2+xy+yz+zx}{x}=\frac{\left(x^2+xy\right)+\left(yz+zx\right)}{x}=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{x}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\)

Vì x, y, z >0 nên áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 số dương, ta được:

\(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(\sqrt{x^2}.+\sqrt{yz}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{x}}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}\)

Do đó \(\sqrt{x+yz}\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\sqrt{y+xz}\ge\frac{y+\sqrt{xz}}{\sqrt{y}}\left(2\right)\)

Chứng minh tương tự, ta được:

\(\sqrt{z+xy}\ge\frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3), ta được:

\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\)\(\ge\frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}+\frac{y+\sqrt{zx}}{\sqrt{y}}+\frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}\)

\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{\frac{yz}{x}}+\sqrt{y}+\sqrt{\frac{xz}{y}}+\sqrt{z}+\sqrt{\frac{xy}{z}}\)

\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{yz+zx+xy}{\sqrt{xyz}}\)

 \(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xyz}{\sqrt{xyz}}\)(vì \(xy+yz+zx=xyz\))

\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\)(điều phải chứng minh).

Dấu bằng xảy ra.

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\xy+yz+zx=xyz\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=3\)

Vậy với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx =xyz thì:

\(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}\).

\(\)

(

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhh

Câu hỏi của Trần Lê Nguyên Mạnh - Toán lớp 9 - Học trực tuyến OLM

Đề phải là số thực không âm mới đúng

Ta có:

\(P=\frac{1}{x^2+2y+3}+\frac{1}{y^2+2z+3}+\frac{1}{z^2+2x+3}\)

\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\right)\)

Đặt \(x=a^3;y=b^3;z=c^3\)

\(\Rightarrow abc=1\)

Từ đây ta có:

\(2P\le\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)

\(=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+1}+\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)+1}+\frac{1}{\left(c+a\right)\left(c^2-ca+a^2\right)+1}\)

\(\le\frac{1}{\left(a+b\right)ab+1}+\frac{1}{\left(b+c\right)bc+1}+\frac{1}{\left(c+a\right)ac+1}\)

\(=\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\)

Vậy \(P\le\frac{1}{2}\)

mình nghĩ đề sai vì hôm kia đến h nghĩ mãi không ra D:

\(\hept{\begin{cases}\left|xy-4\right|=8-y^2\left(1\right)\\xy=2+x^2\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có: \(\left|xy-4\right|\ge0\left(\forall x,y\right)\)

\(\Rightarrow8-y^2\ge0\left(\forall y\right)\Leftrightarrow y^2\le8\)  (3)

Pt (2) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\)

pt (2) \(\Leftrightarrow x^2-\text{yx}+2=0\)

\(\Delta=y^2-8\ge0\Leftrightarrow y^2\ge8\)   (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow y^2=8\Leftrightarrow y=\pm2\sqrt{2}\)

Vậy hpt có nghiệm: \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{2}\\y=2\sqrt{2}\end{cases};\hept{\begin{cases}x=-\sqrt{2}\\y=-2\sqrt{2}\end{cases}}}\)

Gọi vận tốc ô tô đi từ A là x(x>20)

Vận tốc ô tô đi từ B là y(0<y<x)

Vì vận tốc ô tô đi từ A lớn hơn vận tốc ô tô đi từ B là 20km/h nên ta có phương trình: x−y=20(1)

Đổi: 11h30p=1,5h

Sau 1,5h ô tô đi từ A đi được: 1,5x (km)

Sau 1,5h ô tô đi từ B đi được: 1,5 y (km)

Sau 1,5h 2 xe gặp nhau có nghĩa là cả 2 xe đã đi hết đoạn đường AB nên ta có phương trình: 

1,5x+1,5y=150 →x+y=100,

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:

{x−y=20x+y=100⇔{x=60y=40(thoả mãn)

Vậy vận tốc ô tô đi từ A là 60km/h, vận tốc ô tô đi từ B là 40km/h

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

Ta có: 

\(2=a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^3-3.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\left(a+b\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3\le2\times4=8\)

\(\Leftrightarrow a+b\le2\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=1\).

Vậy \(maxN=2\).