a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) $BE=BC.\cot {60}^{\circ }=\genfrac{}{}{0ex}{}{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).

b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.

Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.

Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.

c) $BE=BC.\cot {60}^{\circ }=\genfrac{}{}{0ex}{}{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

DE ngắn nhất ⇔ AM ngắn nhất. Điều đó xảy ra khi AM là đường cao ΔABC.
                           

a) Vì $\widehat{AEM}=\widehat{AFM}={90}^{\circ }$ nên A, E, M, F thuộc đường tròn tâm I đường kính AM $\Rightarrow \widehat{EIF}=2\widehat{EAF}={120}^{\circ }$ (góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp chắn cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{EF}}$).

b) Hạ $IH\perp EF$, ta có $IE=IF=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AM$ nên $\Delta IEF$ cân $\Rightarrow HE=HF$.

Ta lại có: $EH=EI.\sin \widehat{EIH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AM.\sin {60}^{\circ }$ (vì $\widehat{EIH}=\widehat{FIH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\widehat{EIF}={60}^{\circ }$).

Suy ra $EH=\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{2}.\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{3}}{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow EF=2EH=\genfrac{}{}{0ex}{}{a\sqrt{3}}{2}$.

c) EF nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất $\iff$ AM $\perp$ BC.

Trả lời:

Tam giác ABC có:

Sin B = AC/BC (hệ thức lượng)

=> AC = Sin B.BC = Sin 45⁰ . 10 = 5√2 (cm)

 Sin C = AB/BC

=> AB = Sin 30⁰ . 10 = 5 (cm)

Ta có tam giác ABC có: góc A + góc B + góc C = 180⁰ 

=> góc A = 180⁰ - 45⁰ - 30⁰ = 105⁰

Tam giác ABC có: Sin B = $\frac{AC}{BC}$ (hệ thức lượng) => AC = Sin B.BC = Sin 45⁰ . 10 = $5\sqrt{2}$ (cm)

 Sin C = $\frac{AB}{BC}$ (hệ thức lượng) => AB = Sin 30⁰ . 10 = 5 (cm)

Ta có tam giác ABC có: góc A + góc B + góc C = 180⁰ (định lý)

=> góc A = 180⁰ - 45⁰ - 30⁰ = 105⁰

DE ngắn nhất ⇔ AM ngắn nhất. Điều đó xảy ra khi AM là đường cao ΔABC.
                           

a, Có ∠BAH= ∠BCA (vì cùng phụ với ∠HAC)

=> ∠BAH+ ∠HAD= ∠BCA + ∠DAC (vì AD là tia phân giác ∠HAC)

=> ∠BAD= ∠BCA + ∠DAC 

Xét ΔADC có ∠ADB là góc ngoài tại D => ∠ADB= ∠BCA + ∠DAC 

=> ∠BAD= ∠ADB

=> ΔABD cân tại B

b, Xét ΔABD cân tại B => AB= BD

Xét ΔABC vuông tại A

=> AB²= BH. BC

            = (BD- HD). BC

            = (AB- 6). 25

            = 25 AB- 150

=> AB²- 25AB+ 150= 0

<=> (AB-15)(AB-10)= 0 

<=> AB= 15 hoặc AB= 10

Vậy AB= 15cm, hoặc AB= 10 cm

* tự vẽ hình nha !!!

a, có góc BAD =90độ -góc A1; góc BDA=90độ-góc A2
mà góc A1=A2=> góc BAD=góc BDA do đó tam giác BAD cân tại B.

$BH.BC=AB^2=>(x-6).25=x^2<=>x^2-25x+150=0\iff x=10$ hoặc $x=15$.

Vậy $AB=10cm$ hoặc $AB=15cm$. 

hứng minh được $AEB\backsim AFC$, từ đó có \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}t​.AE phần AB=AF phần AC

Ta có: $\Delta AEF\backsim \Delta ABC$ (g.c.g)
b, từ câu a) suy ra EF phần BC=AE phần AB=cos A=cos60 độ =1 phần 2
=> BC=10cm 
c) Saef phần Sabc=(AE phần AB)^2=cos^2 A=1 phần 4 => SAEF =1 phần 4 SABC=25cm^2

a) tan a < tan b

b) cot a > cot b

\(a.tan\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}< tan\beta=\dfrac{sin\beta}{cos\beta}\)
\(b.cot\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}>cot\beta=\dfrac{cos\beta}{sin\beta}\)

a) sin a < tan a

b) cos a < cot a

\(a.tan\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}< sin\alpha\left(\alpha nhọn\Rightarrow sin\alpha>0,cos\alpha>0\right)\)
\(b.cot\alpha=\dfrac{cos\alpha}{sin\alpha}< cos\alpha\left(\alpha nhọn\Rightarrow sin\alpha>0,cos\alpha>0\right)\)