\(ĐKXĐ:x\ge-\frac{2}{3}\)

Ta có : \(4x^2+6x+1=4\sqrt{6x+4}\)

\(\Leftrightarrow4x^2+6x+1+6x+4+4=6x+4+4\sqrt{6x+4}+4\)

\(\Leftrightarrow4x^2+12x+9=\left(\sqrt{6x+4}\right)^2+2.\sqrt{6x+4}.2+2^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2=\left(\sqrt{6x+4}+2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x+3=\sqrt{6x+4}+2\left(1\right)\\2x+3=-\sqrt{6x+4}-2\left(2\right)\end{cases}}\)

+) Pt (1) \(\Leftrightarrow\sqrt{6x+4}=2x+1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x+4=4x^2+4x+1\\x\ge-\frac{1}{2}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(4x+3\right)=0\\x\ge-\frac{1}{2}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow x=1\) ( Thỏa mãn )

+) Pt (2) \(\Leftrightarrow\sqrt{6x+4}=-2x-5\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6x+4=\left(-2x-5\right)^2\\x\le-\frac{5}{2}\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6x+4=4x^2+25+20x\\x\le-\frac{5}{2}\end{cases}}\) ( Vô nghiệm )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=1\)

Bài làm:

Ta có: Vì ΔABC đều => \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^0\)

Xét Δ vuông MBE có BE = 1/2 BM 

=> \(EM^2=BM^2-BE^2=BM^2-\frac{1}{4}BM^2=\frac{3}{4}BM^2\)

=> \(EM=\frac{BM\sqrt{3}}{2}\)

Tương tự CM được:  \(FM=\frac{MC\sqrt{3}}{2}\)

=> \(ME+MF=\frac{\left(BM+MC\right)\sqrt{3}}{2}=\frac{BC.\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\left(cm\right)\)

b) Ta có: Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> \(IE=FI=\frac{AM}{2}=AI\)

Vì IE = AI => Δ AIE cân tại I => \(\widehat{IAE}=\widehat{IEA}\)

=> \(\widehat{EIM}=\widehat{IAE}+\widehat{IEA}=2\widehat{IAE}\)

Tương tự CM được: \(\widehat{FIM}=2\widehat{FAI}\)

=> \(\widehat{EIM}+\widehat{FIM}=2\left(\widehat{IAE}+\widehat{FAI}\right)=2.60^0=120^0\)

=>\(\widehat{EIF}=120^0\)

c) Khi AM = 20cm => \(EI=FI=10cm\)

=> Δ EIF cân tại I => \(\widehat{FEI}=\widehat{IFE}=30^0\)

Xong từ I kẻ đường cao xuống EF làm 1 vài động tác CM ra được: \(EF=10\sqrt{3}cm\)

(ko hiểu thì ib)

d) Áp dụng t/c đường xiên hình chiếu => Min AM = AH khi M trùng H

a) Ta có: \(x-\sqrt{x}+1=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\left(\forall x\right)\)

=> \(A=\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}\le\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=\frac{1}{4}\)

Vậy Max(A) = 4/3 khi x = 1/4

b) \(B=\sqrt{4x-x^2+21}=\sqrt{-\left(x^2-4x+4\right)+25}\)

\(=\sqrt{25-\left(x-2\right)^2}\le\sqrt{25}=5\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(x-2\right)^2=0\Rightarrow x=2\)

Vậy Max(B) = 5 khi x = 2

c) \(C=1+\sqrt{-9x^2+6x}=1+\sqrt{-\left(9x^2-6x+1\right)+1}\)

\(=1+\sqrt{1-\left(3x-1\right)^2}\le1+\sqrt{1}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(3x-1\right)=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)

Vậy Max(C) = 2 khi x = 1/3

d) Ta có: \(D=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\)

=> \(D^2=\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-2+4-x\right)\) ( BĐT Bunhia)

\(=2.2=4\)

=> \(D\le2\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x-2=4-x\Rightarrow x=3\)

Vậy Max(D) = 2 khi x = 3

cảm ơn bạn nhaaa

(Vẽ hình B ở giữa A và M)

Xét tg MPA và tg MBP có 

^AMP chung (1)

sđ ^PAM = 1/2 sđ cung PB (góc nội tiếp)

sđ ^MPB = 1/2 sđ cung PB (góc giữ tt và dây cung)

=> ^PAM=^MPB (2)

Từ (1) và (2) => tg MPA đồng dạng tg MBP

\(\Rightarrow\frac{MA}{MP}=\frac{MP}{MB}\Rightarrow MP^2=MA.MB\left(dpcm\right)\)

 Giúp mình tiếp được không ạ ??

Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luôn đi qua 2 điểm cố định khi M di chuyển trên d

\(P=\left(\sqrt{x}+\frac{x+2}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-4}{1-x}\right)\)

\(=\left[\frac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{x+2}{\sqrt{x}+1}\right]:\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}-4}{x-1}\right)\)

\(=\left(\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{x+2}{\sqrt{x}+1}\right):\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]\)

\(=\frac{2x+\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}:\left[\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right]\)

\(=\frac{2x+\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}:\frac{x-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2x+\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-4}\)

\(=\frac{\left(2x+\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-4}\)

\(2x^2+7y^2+3x-6y=5xy-7\)

\(\Leftrightarrow x^2-5xy+\frac{25}{4}y^2+3x-\frac{15}{2}y+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}y^2+\frac{3}{2}y+\frac{3}{4}+x^2+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{5}{2}y\right)^2+2.\left(x-\frac{5}{2}y\right).\frac{3}{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(y^2+2y+1\right)+x^2+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(y+1\right)^2+x^2+4=0\)

Thấy ngay \(VT>0\)

=> Pt vô nghiệm 

Sure ?

\(2x^2+7y^2+3x-6y=5xy-7\)

<=> \(16x^2+56y^2+24x-48y=40xy-56\)

<=> \(\left(16x^2-40xy+25y^2\right)+6\left(4x-5y\right)+9+\left(31y^2-18y+47\right)=0\)

<=> \(\left(16x^2-40xy+25y^2\right)+6\left(4x-5y\right)+9+\left(31y^2-18y+47\right)=0\)

<=> \(\left(4x-5y\right)^2+6\left(4x-5y\right)+9+\left(31y^2-18y+47\right)=0\)

<=> \(\left(4x-5y+3\right)^2+\left(31y^2-18y+47\right)=0\)(1)

Mà \(31y^2-18y+47>0\)với mọi y 

=> (1) vô nghiệm

\(\left(3+2\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)\left(3-2\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)=9-4\left(1+\sqrt{2}\right)=5-4\sqrt{2}\)

=> \(\left(5+4\sqrt{2}\right)\left(3+2\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)\left(3-2\sqrt{1+\sqrt{2}}\right)=25-16.2=-7\)

=> \(x=-7\sqrt[3]{-7}=7\sqrt[3]{7}\)

Đặt y = \(x+1=\sqrt[3]{8+2\sqrt{14}}+\sqrt[3]{8-2\sqrt{14}}\)

=> \(y^3=8+2\sqrt{14}+8-2\sqrt{14}+3\sqrt[3]{\left(8+2\sqrt{14}\right)\left(8-2\sqrt{14}\right)}.y\)

<=> \(y^3=16+6y\)

=> \(\left(x+1\right)^3=16+6\left(x+1\right)\)

=> \(x^3+3x^2+3x+1=6x+32\)

<=> \(x^3+3x^2-3x-5=26\)

Ta có: 

\(x^6+3x^5-3x^4-2x^3+9x^2-9x+2018\)

= \(x^6+3x^5-3x^4-5x^3+3x^3+9x^2-9x-15+2033\)

= \(\left(x^3+3x^2-3x-5\right)\left(x^3+3\right)+2033\)

= \(26x^3+2111\)

\(=26\left(\sqrt[8]{8+2\sqrt{14}}+\sqrt[8]{8-2\sqrt{14}}-1\right)^3+2033\)