AM = 3,125 , AD =15\(\sqrt{2}\): 7

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có:
$A{H}^2=BH.HC$$\iff HC=\genfrac{}{}{0ex}{}{A{H}^2}{HB}=2,25cm$.
$BC=BH+HC=4+2,25=6,25cm$.
$AM=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{2}=3,125cm$.
b) Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có:
$AB=\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}=5cm$.
 $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{6,25^2-5^2}=3,75cm$.
Theo tính chất tia phân giác của một góc:$\genfrac{}{}{0ex}{}{BD}{DC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{AC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3,75}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}$.

Gọi E, F là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và AB. Ta thấy ngay FDEA là hình vuông nội tiếp tam giác vuông ABC.

Từ đó ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{DE}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{DC}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{7}\Rightarrow DE=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{7}.5=\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{7}\left(cm\right)$

$\Rightarrow AD=\genfrac{}{}{0ex}{}{15\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)$.

a) Ta có

2x+13y=1562x+13y=156

\(\Leftrightarrow\)13y=156−2x\(\Leftrightarrow\)13y=156−2x

\(\Leftrightarrow\)y=156−2x13<−>y=156−2x13

Để yy nguyên thì 156−2x156−2x phải chia hết cho 13.

Lại có 156−2x=2(78−x)156−2x=2(78−x). Do đó là số chẵn.

Vậy 156−2x∈B(13)={26,52,78,104,130,156}156−2x∈B(13)={26,52,78,104,130,156}

Do đó x∈{65,52,39,26,13,0}

​ĐK: $\{\begin{array}{c}\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge 0\\ x^2+5x-36\ge 0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\ge 4\\ x\le -9\end{array}$

$pt\iff \sqrt{x^2+5x+6}=x^2+5x-36$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+6}=t\left(t\ge 0\right)$ , phương trình trở thành:

$t=t^2-42\iff t^2-t-42=0\iff \left(t+6\right)\left(t-7\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-6\left(ktmđk\right)\\ t=7\end{array}$

Với $t=7\Rightarrow \sqrt{x^2+5x+6}=7\Rightarrow x^2+5x+6=49$

$\Rightarrow x^2+5x-43=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2}\\ x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\end{array}\left(tmđk\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\right\}$

​ĐK: $\{\begin{array}{c}\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge 0\\ x^2+5x-36\ge 0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\ge 4\\ x\le -9\end{array}$

$pt\iff \sqrt{x^2+5x+6}=x^2+5x-36$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+6}=t\left(t\ge 0\right)$ , phương trình trở thành:

$t=t^2-42\iff t^2-t-42=0\iff \left(t+6\right)\left(t-7\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-6\left(ktmđk\right)\\ t=7\end{array}$

Với $t=7\Rightarrow \sqrt{x^2+5x+6}=7\Rightarrow x^2+5x+6=49$

$\Rightarrow x^2+5x-43=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2}\\ x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\end{array}\left(tmđk\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\right\}$

​ĐK: $\{\begin{array}{c}\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge 0\\ x^2+5x-36\ge 0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\ge 4\\ x\le -9\end{array}$

$pt\iff \sqrt{x^2+5x+6}=x^2+5x-36$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+6}=t\left(t\ge 0\right)$ , phương trình trở thành:

$t=t^2-42\iff t^2-t-42=0\iff \left(t+6\right)\left(t-7\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-6\left(ktmđk\right)\\ t=7\end{array}$

Với $t=7\Rightarrow \sqrt{x^2+5x+6}=7\Rightarrow x^2+5x+6=49$

$\Rightarrow x^2+5x-43=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2}\\ x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\end{array}\left(tmđk\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\right\}$

​ĐK: $\{\begin{array}{c}\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge 0\\ x^2+5x-36\ge 0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\ge 4\\ x\le -9\end{array}$

$pt\iff \sqrt{x^2+5x+6}=x^2+5x-36$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+6}=t\left(t\ge 0\right)$ , phương trình trở thành:

$t=t^2-42\iff t^2-t-42=0\iff \left(t+6\right)\left(t-7\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-6\left(ktmđk\right)\\ t=7\end{array}$

Với $t=7\Rightarrow \sqrt{x^2+5x+6}=7\Rightarrow x^2+5x+6=49$

$\Rightarrow x^2+5x-43=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2}\\ x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\end{array}\left(tmđk\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\right\}$

​ĐK: $\{\begin{array}{c}\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge 0\\ x^2+5x-36\ge 0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\ge 4\\ x\le -9\end{array}$

$pt\iff \sqrt{x^2+5x+6}=x^2+5x-36$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+6}=t\left(t\ge 0\right)$ , phương trình trở thành:

$t=t^2-42\iff t^2-t-42=0\iff \left(t+6\right)\left(t-7\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-6\left(ktmđk\right)\\ t=7\end{array}$

Với $t=7\Rightarrow \sqrt{x^2+5x+6}=7\Rightarrow x^2+5x+6=49$

$\Rightarrow x^2+5x-43=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2}\\ x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\end{array}\left(tmđk\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\right\}$

​ĐK: $\{\begin{array}{c}\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge 0\\ x^2+5x-36\ge 0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\ge 4\\ x\le -9\end{array}$

$pt\iff \sqrt{x^2+5x+6}=x^2+5x-36$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+6}=t\left(t\ge 0\right)$ , phương trình trở thành:

$t=t^2-42\iff t^2-t-42=0\iff \left(t+6\right)\left(t-7\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-6\left(ktmđk\right)\\ t=7\end{array}$

Với $t=7\Rightarrow \sqrt{x^2+5x+6}=7\Rightarrow x^2+5x+6=49$

$\Rightarrow x^2+5x-43=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2}\\ x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\end{array}\left(tmđk\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\right\}$

​ĐK: $\{\begin{array}{c}\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge 0\\ x^2+5x-36\ge 0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\ge 4\\ x\le -9\end{array}$

$pt\iff \sqrt{x^2+5x+6}=x^2+5x-36$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+6}=t\left(t\ge 0\right)$ , phương trình trở thành:

$t=t^2-42\iff t^2-t-42=0\iff \left(t+6\right)\left(t-7\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-6\left(ktmđk\right)\\ t=7\end{array}$

Với $t=7\Rightarrow \sqrt{x^2+5x+6}=7\Rightarrow x^2+5x+6=49$

$\Rightarrow x^2+5x-43=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2}\\ x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\end{array}\left(tmđk\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\right\}$

​ĐK: $\{\begin{array}{c}\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge 0\\ x^2+5x-36\ge 0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\ge 4\\ x\le -9\end{array}$

$pt\iff \sqrt{x^2+5x+6}=x^2+5x-36$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+6}=t\left(t\ge 0\right)$ , phương trình trở thành:

$t=t^2-42\iff t^2-t-42=0\iff \left(t+6\right)\left(t-7\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-6\left(ktmđk\right)\\ t=7\end{array}$

Với $t=7\Rightarrow \sqrt{x^2+5x+6}=7\Rightarrow x^2+5x+6=49$

$\Rightarrow x^2+5x-43=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2}\\ x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\end{array}\left(tmđk\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\right\}$

​ĐK: $\{\begin{array}{c}\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge 0\\ x^2+5x-36\ge 0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\ge 4\\ x\le -9\end{array}$

$pt\iff \sqrt{x^2+5x+6}=x^2+5x-36$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+6}=t\left(t\ge 0\right)$ , phương trình trở thành:

$t=t^2-42\iff t^2-t-42=0\iff \left(t+6\right)\left(t-7\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-6\left(ktmđk\right)\\ t=7\end{array}$

Với $t=7\Rightarrow \sqrt{x^2+5x+6}=7\Rightarrow x^2+5x+6=49$

$\Rightarrow x^2+5x-43=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2}\\ x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\end{array}\left(tmđk\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\right\}$

​ĐK: $\{\begin{array}{c}\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge 0\\ x^2+5x-36\ge 0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\ge 4\\ x\le -9\end{array}$

$pt\iff \sqrt{x^2+5x+6}=x^2+5x-36$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+6}=t\left(t\ge 0\right)$ , phương trình trở thành:

$t=t^2-42\iff t^2-t-42=0\iff \left(t+6\right)\left(t-7\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-6\left(ktmđk\right)\\ t=7\end{array}$

Với $t=7\Rightarrow \sqrt{x^2+5x+6}=7\Rightarrow x^2+5x+6=49$

$\Rightarrow x^2+5x-43=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2}\\ x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\end{array}\left(tmđk\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\right\}$​ĐK: 

$\{\begin{array}{c}\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge 0\\ x^2+5x-36\ge 0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\ge 4\\ x\le -9\end{array}$

$pt\iff \sqrt{x^2+5x+6}=x^2+5x-36$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+6}=t\left(t\ge 0\right)$ , phương trình trở thành:

$t=t^2-42\iff t^2-t-42=0\iff \left(t+6\right)\left(t-7\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-6\left(ktmđk\right)\\ t=7\end{array}$

Với $t=7\Rightarrow \sqrt{x^2+5x+6}=7\Rightarrow x^2+5x+6=49$

$\Rightarrow x^2+5x-43=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2}\\ x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\end{array}\left(tmđk\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\right\}$

​ĐK: $\{\begin{array}{c}\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ge 0\\ x^2+5x-36\ge 0\end{array}\iff [\begin{array}{c}x\ge 4\\ x\le -9\end{array}$

$pt\iff \sqrt{x^2+5x+6}=x^2+5x-36$

Đặt $\sqrt{x^2+5x+6}=t\left(t\ge 0\right)$ , phương trình trở thành:

$t=t^2-42\iff t^2-t-42=0\iff \left(t+6\right)\left(t-7\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-6\left(ktmđk\right)\\ t=7\end{array}$

Với $t=7\Rightarrow \sqrt{x^2+5x+6}=7\Rightarrow x^2+5x+6=49$

$\Rightarrow x^2+5x-43=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2}\\ x=\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\end{array}\left(tmđk\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{-5+\sqrt{197}}{2};\genfrac{}{}{0ex}{}{-5-\sqrt{197}}{2}\right\}$