có góc AQB= 90 độ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) Hay góc AQP=90 độ => góc QAP= 90 độ- góc QPA=90 độ-1/2sđ cung AP

có góc APC= 90 độ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O1)=> góc PAC=90 độ - góc PCA=90 độ - 1/2sđ cung AP

Vì vậy góc QAP= góc PAC hay AP là tia phân giác của  góc QAB

Ta có: góc BQA =90^o (góc nội tiếp chắn nửa (O))

Xét Δ PQA vuông tại Q có: góc QAP + góc QPA =90^o ⇒ góc QAP=90^o- góc QPA 

Mà góc QPA =1/2 sđ cung PA ( góc QPA là góc tạo bởi tia tiếp tuyến cà dây cung chắn cung AP của (O1))

⇒góc QAP=90^o- 1/2 sđ cung PA (1)

Xét ΔCPA vuông tại P ( vì góc CPA là góc nội tiếp chắn nửa (O1)) có

góc PCA + góc PAC =90^o⇒góc PAC =90^o-góc PCA 

mà góc PCA =1/2 sđ cung PA ( góc nội tiếp chắn cung PA )

⇒góc PAC= 90^o-1/2 sđ cung PA (2)

Từ (1) và (2) ⇒ góc QAP=góc PAC ⇒ AP là tia phân giác của góc QAB

ta có : Góc CAB = GÓc PQG ( 2 góc đối đỉnh ) . theo tính chất của góc nt , taco : Góc CBA = 1/2 cung AC . Góc APQ = 1/2 sd AQ(1) . theo t/c của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ta có ; GÓC CBA = 1/2 cung AC . APQ + 1/2 sđ AQ ( 2) . TỪ (1) , ( 2 ) => GÓC CBA = APQ . mà 2 góc này ở vị trí soletrong = > BC song song với QP

xAC=QAy(hai góc đối đỉnh)

theo tính chất của 2 góc được tạo bởi tia tiếp tuyến

=> xAC=1/2sđ cung AC,QAy=1/2sđ cungAQ(1)

theo tính chất của góc nội tiếp,ta có

=> ABC=1/2 sđ cung AC,APQ=1/2sđ cung AQ(2)

từ (1),(2)=> ABC=APQ

=> QP//BC

a)\(\Delta\)=(2m+3)^2-4.(m^2-1)

        =12m+13

=>Phương trình có 2 nghiệm phân biệt<=>\(\Delta\ge0\)

Hay 12m+13>_0

<=>m>_-13/12

b)Vì phương trình có nghiệm x1=1 nên thay x=1 vào phương trình ta có

1^2-(2m+3)1+m^2-1=0

<=>m^2-2m-3=0

<=>m=-1 hoặc m=3

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có

x1.x2=m^2-1

=>x2=m^2-1

+)m=-1=>x2=0

+)m=3=>x2=8

c)Theo câu a ta có 

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt<=>m>_-13/12

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có

x1+x2=2m+3 và x1.x2=m^2-1 (1)

Đặt A= x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2.x1.x2

Thay (1) vào A ta có

A=(2m+3)^2-2(m^2-1)

=4m^2+12m+11

=(2m+3)^2+2>_2 Hay GTNN của x1^2+x2^2 là 2

Dấu "=" xảy ra <=>2m+3=0<=>m=-3/2

d)Câu này dễ b tự lm nha

ta có góc ACH=gócABC(vì cùng phụ với góc CAB)

MCA=ABC(vì cùng chắn cung AC)

=> góc MCA=ACH hay AC là tia phân giác của góc MCH

\(\sqrt{3x^2+5x+1}-\sqrt{3x^2+5x-7}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3x^2+5x+1}=\sqrt{3x^2+5x-7}\)

ĐKXĐ : ... 

Bình phương hai vế

\(\Leftrightarrow3x^2+5x+1=3x^2+5x-7\)

\(\Leftrightarrow3x^2+5x+1-3x^2-5x+7=0\)

\(\Leftrightarrow0x+8=0\)

\(\Leftrightarrow0=8\left(voli\right)\)

Vậy phương trình vô nghiệm 

2( x² - 2x )² + 3x² - 6x + 1 = 0

<=> 2( x² - 2x )² + 3( x² - 2x ) + 1 = 0

Đặt t = x² - 2x ta được phương trình bậc 2 ẩn t :

2t² + 3t + 1 = 0 (*)

Dễ thấy (*) có a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0 nên có hai nghiệm phân biệt t₁ = -1 ; t₂ = -c/a = -1/2

=> x² - 2x = -1 hoặc x² - 2x = -1/2

<=> x² - 2x + 1 = 0 hoặc x² - 2x + 1/2 = 0

+) x² - 2x + 1 = 0

Δ = b² - 4ac = 4 - 4 = 0

Δ = 0 nên pt có nghiệm kép x₁ = x₂ = -b/2a = 1

+) x² - 2x + 1/2 = 0

Δ = b² - 4ac = 4 - 2 = 2

Δ > 0 nên pt có hai nghiệm phân biệt : \(x_1=\frac{-2+\sqrt{2}}{2};x_2=\frac{-2-\sqrt{2}}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm \(x_1=\frac{-2+\sqrt{2}}{2};x_2=\frac{-2-\sqrt{2}}{2};x_3=1\)

Áp dụng bđt cô si ta có : \(a^2+bc\ge2\sqrt{a^2bc}=2a\sqrt{bc}\)\(< =>\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{1}{2\sqrt{bc}}\)

Tương tự và cộng theo vế ta được \(LHS\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)

Ta sẽ chứng minh bđt phụ sau\(\frac{1}{\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Ta thấy  \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}< =>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\)

Áp dụng bđt phụ trên ta có \(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\le\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)}{abc}\le\frac{\frac{1}{2}abc}{abc}=\frac{1}{2}\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra \(< =>a=b=c=3\)

bài này quan trọng là tìm đc cái bđt phụ đó thôi bạn

Áp dụng BĐT\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Ta Có \(\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{a}{4}.\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{bc}\right)\)  và \(a^2+b^2+c^2\le abc\)

\(=>\frac{a}{a^2+bc}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\right)\)

Tương tự các cái khác ta có

\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+1\right)\)

Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ac}{abc}\le\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\le1\)

\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\left(dpcm\right)\)Dấu = xảy ra <=> a=b=c=3 "_"

Học tốt