\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}\ge\frac{0-1}{2}=-\frac{1}{2}\)

Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}}\), chẳng hạn \(c=0,a=-b=\sqrt{\frac{1}{2}}\). 

Ta có : \(1\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1+2\left(ab+bc+ca\right)}{3}\)

\(< =>ab+bc+ca\le1\)

Dấu "=" tự tìm nhaaaaa

đề phải là A;D;C;E chứ bạn ? xem lại nhé 

a, Gọi I là trung điểm AC

Xét tam giác CEA vuông tại E, I là trung điểm 

=> \(IE=\frac{1}{2}AC=AI=IC\)(*)

Xét tam giác ADC vuông tại D, I là trung điểm 

=> \(DI=\frac{1}{2}AC=AI=IC\)(**)

Từ (*) ; (**) suy ra A;D;C;E cùng thuộc (I;AC/2)

Xét tam giác ABC vuông tại A: 

a)\(AB^2\)+\(AC^2\)=\(BC^2\)(Pytago)

=>BC= \(\sqrt{AB^2+AC^2}\)=\(\sqrt{3^2+4^2}\)=5 (cm)

tanB= \(\frac{AC}{AB}\)=\(\frac{4}{3}\)\(\approx\)53 độ => Góc B \(\approx\)53 độ

Góc B+Góc C+ Góc A=180 độ

=>Góc C= 180-90-53=36 độ

Vậy AB=3cm, AC =4cm, BC=5cm, Góc A =90 độ, góc B bằng 53 độ, góc C =36 độ

a/ \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9+16}=5\)

b/ \(\cos\widehat{B}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow BC=\frac{AB}{\cos\widehat{B}}=\frac{3}{\cos40^o}\)

\(\cot\widehat{B}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow AC=\frac{AB}{\cot\widehat{B}}=\frac{3}{\cot40^o}\)

c/ \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{400-144}=16\)

d/ \(\cos\widehat{C}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC=BC.\cos\widehat{C}=12.\cos70^o\)

\(\sin\widehat{C}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow AB=BC.\sin\widehat{C}=12.\sin70^o\)

a, Ta có : \(tga.cotga=1\)nên :

\(\frac{1}{1+tga}+\frac{1}{1+cotga}=\frac{2+cotga+tga}{1+tga+cotga+tga.cotga}=\frac{2+cotga+tga}{2+tga+cotga}=1\left(đpcm\right)\)

b, \(sin^4x-cos^4x=2sin^2x-1\)

\(< =>2sin^2x-1-sin^2x+cos^2x=0\)( vì sin^2x+cos^2x = 1 )

\(< =>sin^2x+cos^2x=1\)(đúng)

Điều kiện: \(x,y\)cùng dấu và nếu cùng dương thì cùng nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Nếu \(x,y\le0\Rightarrow\left(1-x\right),\left(1-y\right)\ge1\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\ge0+1=1=VP\)Mà đẳng thức xảy ra nên: Từ đây x=y=0. Thử lại không thỏa do đó: \(x,y>0.\text{ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: }VT\le\frac{x+y}{2}+\frac{1-x+1-y}{2}=1=VP\)

Dấu bằng xảy ra nên: x=y. Thế vào phương trình 2 ta được:

\(x+\sqrt{x^2+3}=3\Leftrightarrow\sqrt{x^2+3}=3-x\Leftrightarrow x^2+3=x^2-6x+9\Leftrightarrow-6=-6x\). Ta được: x=y=1(thỏa mãn). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: x=1,y=1.