Trong mp (ABCD), nối NP lần lượt cắt AB và AD kéo dài tại E và F

Trong mp (SAB), nối EM cắt SB tại G

Trong mp (SAD), nối FM cắt SD tại H

\(\Rightarrow\) Ngũ giác NPHMG là thiết diện của (MNP) và chóp

b.

\(\left\{{}\begin{matrix}G\in SB\\H\in SD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow GH\in\left(SBD\right)\)

Trong mp (SBD), nối SO cắt GH tại I

\(\Rightarrow I=SO\cap\left(MNP\right)\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-m+2\ge0\\\sqrt{x-m+2}-1\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge m-2\\x\ne m-1\end{matrix}\right.\)

Hàm xác định trên (0;1) khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-2\le0\\\left[{}\begin{matrix}m-1\ge1\\m-1\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le1\\m=2\end{matrix}\right.\)

Gọi E là trung điểm AB

Do M là trọng tâm ABC \(\Rightarrow\dfrac{ME}{CE}=\dfrac{1}{3}\)

Do N là trọng tâm ABD \(\Rightarrow\dfrac{NE}{DE}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{ME}{CE}=\dfrac{NE}{DE}\Rightarrow MN||CD\) (Talet đảo)

Mà \(CD\in\left(BCD\right)\Rightarrow MN||\left(BCD\right)\)

b.

Trong mp (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song BC cắt AB tại F và AC tại G

Trong mp (ABD), nối FN kéo dài cắt AD tại H

\(\Rightarrow\) Tam giác FGH là thiết diện của (P) và tứ diện

\(y=\left|2-x\right|+4\left|x+1\right|+3\)

- Với \(x< -1\Rightarrow y=2-x-4\left(x+1\right)+3=-5x+1\)

- Với \(-1\le x\le2\Rightarrow y=2-x+4\left(x+1\right)+3=3x+9\)

\(y\left(-2\right)=11;y\left(-1\right)=6;y\left(2\right)=15\)

So sánh 3 giá trị trên ta thấy \(y_{max}=15\) ; \(y_{min}=6\)

Số cách xếp 4 bạn nữ đứng cạnh nhau : \(4!\) (cách)

Số cách xếp 6 bạn nam đứng cạnh nhau : \(6!\left(cách\right)\)

Đổi chỗ nam và nữ có : \(2\) (cách)

\(\Leftrightarrow\) Số cách xếp : \(2.4!.6!\) (cách)

Xếp 4 nữ cạnh nhau: 4! cách

Coi 4 nữ như 1 bạn, hoán vị cùng 6 bạn nam: 7! cách

Tổng cộng: \(4!.7!\) cách

Chọn 6 người bất kì: \(C_{26}^6\)

Chọn 6 người sao cho có mặt cả An và Mỹ: \(C_{24}^4\)

Số cách thỏa mãn: \(C_{26}^6-C_{24}^4=...\)

\(0\le1+cosn^2\le2\Rightarrow0\le\dfrac{1+cosn^2}{1+2n}\le\dfrac{2}{1+2n}\)

Mà \(\lim\left(0\right)=\lim\left(\dfrac{2}{1+2n}\right)=0\)

\(\Rightarrow\lim\dfrac{1+cosn^2}{1+2n}=0\)

\(\dfrac{1}{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}=\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+3}\)

\(\Rightarrow\sum\dfrac{1}{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{n+3}=\dfrac{1}{3}\)

a. Do \(AC||A'C'\Rightarrow\) giao tuyến của (AB'C) và (A'B'C') là đường thẳng qua B' và song song A'C'

Qua B kẻ \(d||A'C'\Rightarrow d=\left(AB'C\right)\cap\left(A'B'C'\right)\)

b. Trong mp (ABB'A'), gọi M là giao điểm AB' và A'B

Trong mp (BCC'B'), gọi N là giao điểm BC' và B'C

\(\Rightarrow MN=\left(AB'C\right)\cap\left(A'BC'\right)\)

Mặt khác do các mặt bên của lăng trụ là các hình bình hành

\(\Rightarrow\) M là trung điểm AB' và A'B, N là trung điểm BC' và B'C

\(\Rightarrow MN||AC\) (đường trung bình)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN||\left(ABC\right)\\MN||\left(AA'C'C\right)\end{matrix}\right.\)

MN song song (A'B'C) là sai, MN chỉ song song (A'B'C')

\(\lim\left(2n^3-100n+9\right)=\lim n^3\left(2-\dfrac{100}{n^2}+\dfrac{9}{n^3}\right)=+\infty.2=+\infty\)

\(\lim\sqrt{2n^4-n^2+n+2}=\lim n^2\sqrt{2-\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{2}{n^4}}=+\infty.\sqrt{2}=+\infty\)

\(\lim\sqrt[3]{1+2n-n^3}=\lim n\sqrt[3]{\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{2}{n^2}-1}=+\infty.\left(-1\right)=-\infty\)