Ta có : \(\overrightarrow{BC}=\left(4;1\right)\) 

Phương trình đường cao của \(\Delta ABC\) kẻ từ A : \(4\left(x-1\right)+1\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow4x+y-8=0\)

\(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+1}=\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{b+1}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}\) ; \(\dfrac{c}{c+1}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

Nhân vế:

\(\dfrac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\dfrac{8}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

\(\Rightarrow abc\ge8\)

a.

\(P=a\sqrt{4+b^2}+b\sqrt{4+c^2}+c\sqrt{4+a^2}\)

(Áp dụng \(4+x^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2+x\right)^2\))

\(P\ge\dfrac{a}{\sqrt{2}}\left(2+b\right)+\dfrac{b}{\sqrt{2}}\left(2+c\right)+\dfrac{c}{\sqrt{2}}\left(2+a\right)\)

\(P\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(2a+2b+2c+ab+bc+ca\right)\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\left(2.3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\right)\ge12\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi  \(a=b=c=2\)

b.

\(\dfrac{1}{\sqrt{a^3+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}}\ge\dfrac{2}{a+1+a^2-a+1}=\dfrac{2}{a^2+2}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{\sqrt{b^3+1}}\ge\dfrac{2}{b^2+2}\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{c^3+1}}\ge\dfrac{2}{c^2+2}\)

\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{2}{a^2+2}+\dfrac{2}{b^2+2}+\dfrac{2}{c^2+2}\)

Từ điều kiện ban đầu \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=1\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{1+a}=x\\\dfrac{1}{1+b}=y\\\dfrac{1}{1+c}=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+z=1\)

Đồng thời: \(\dfrac{1}{1+a}=x\Rightarrow1+a=\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+y+z}{x}\Rightarrow a=\dfrac{x+y+z}{x}-1=\dfrac{y+z}{x}\)

Tương tự: \(b=\dfrac{z+x}{y}\) ; \(c=\dfrac{x+y}{z}\)

Từ đó:

\(Q\ge\dfrac{2}{\left(\dfrac{y+z}{x}\right)^2+2}+\dfrac{2}{\left(\dfrac{z+x}{y}\right)^2+2}+\dfrac{2}{\left(\dfrac{x+y}{z}\right)^2+2}\)

\(Q\ge\dfrac{2x^2}{2x^2+\left(y+z\right)^2}+\dfrac{2y^2}{2y^2+\left(z+x\right)^2}+\dfrac{2z^2}{2z^2+\left(x+y\right)^2}\)

\(Q\ge\dfrac{2x^2}{2x^2+2\left(y^2+z^2\right)}+\dfrac{2y^2}{2y^2+2\left(z^2+x^2\right)}+\dfrac{2z^2}{2z^2+2\left(x^2+y^2\right)}=1\)

\(Q_{min}=1\) khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c=2\)

Đặt \(-x^2+2x=t\Rightarrow0\le t\le1\)

\(\Rightarrow-t^2+t-3+m=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-t+3=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-t+3\) trên \(\left[0;1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[0;1\right]\)

\(f\left(0\right)=3\) ; \(f\left(1\right)=3\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{11}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{11}{4}\le f\left(t\right)\le3\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(\dfrac{11}{4}\le m\le3\)

1. Đề lỗi

2.

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;-1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2-\left(-7\right)}=3\)

a.

\(d\left(I;D\right)=\dfrac{\left|1-1-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2\sqrt{2}< R\)

\(\Rightarrow D\) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

b.

Gọi H là trung điểm MN \(\Rightarrow IH\perp MN\Rightarrow IH=d\left(I;D\right)=2\sqrt{2}\)

ÁP dụng định lý Pitago trong tam giác vuông IHM:

\(HM=\sqrt{IM^2-IH^2}=\sqrt{R^2-IH^2}=\sqrt{9-8}=1\)

\(\Rightarrow MN=2MH=2\)

\(S_{IMN}=\dfrac{1}{2}IH.MN=2\sqrt{2}\)

3.

Đường tròn (C) tâm \(I\left(2;3\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\)

Đường còn (C') tâm \(I'\left(1;2\right)\) bán kính \(R'=2\sqrt{2}\)

Gọi tiếp tuyến chung của (C) và (C') là (d) có pt: \(ax+by+c=0\) với \(a^2+b^2\ne0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}d\left(I;\left(d\right)\right)=R\\d\left(I';\left(d\right)\right)=R'\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left|2a+3b+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{2}\left(1\right)\\\dfrac{\left|a+2b+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left|a+2b+c\right|=2\left|2a+3b+c\right|\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4a+6b+2c=a+2b+c\\4a+6b+2c=-a-2b-c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3a+4b+c=0\\5a+8b+3c=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=-3a-4b\\c=-\dfrac{5a+8b}{3}\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1):

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{\left|2a+3b-3a-4b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{2}\\\dfrac{\left|2a+3b-\dfrac{5a+8b}{3}\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|a+b\right|=\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\\\left|a+b\right|=3\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a^2+2ab+b^2=2a^2+2b^2\\a^2+2ab+b^2=18a^2+18b^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\17a^2-2ab+17b^2=0\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a=b\) \(\Rightarrow c=-3a-4b=-7a\)

Thế vào pt (d):

\(ax+ay-7a=0\Leftrightarrow x+y-7=0\)

Do BC vuông góc đường cao AH kẻ từ A nên BC nhận (3;4) là 1 vtpt

Phương trình BC:

\(3\left(x+4\right)+4\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow3x+4y+12=0\)

C là giao điểm BC và trung tuyến kẻ từ C nên tọa độ C là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}4x+y+3=0\\3x+4y+12=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(0;-3\right)\)

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\) thuộc trung tuyến kẻ từ C nên tọa độ M có dạng: \(M\left(m;-4m-3\right)\)

Áp dụng công thức trung điểm: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A=2x_M-x_B=2m+4\\y_A=2y_M-y_B=-8m-6\end{matrix}\right.\)

Do A thuộc -4x+3y+2=0 nên:

\(-4\left(2m+4\right)+3\left(-8m-6\right)+2=0\Rightarrow m=-1\) \(\Rightarrow A\left(2;2\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(-6;-2\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB nhận (1;-3) là 1 vtpt

Phương trình AB:

\(1\left(x+4\right)-3\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x-3y+4=0\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-2;-5\right)\Rightarrow\) đường thẳng AC nhận (5;-2) là 1 vtpt

Phương trình AC:

\(5\left(x-2\right)-2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow5x-2y-6=0\)

b.

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left(-6;-2\right)\Rightarrow AB=\sqrt{\left(-6\right)^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{10}\)

Gọi H là chân đường cao hạ từ C xuống AB

\(\Rightarrow CH=d\left(C;AB\right)=\dfrac{\left|0-\left(-3\right).3+4\right|}{\sqrt{1^2+\left(-3\right)^2}}=\dfrac{13\sqrt{10}}{10}\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}CH.AB=13\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-3\right)\left(x-4\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\le0\)

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta được nghiệm của BPT là: 

\(\left[{}\begin{matrix}-2< x< 2\\3\le x\le4\end{matrix}\right.\)

\(tan\left(-\dfrac{105\pi}{6}\right)=tan\left(\dfrac{-108\pi+3\pi}{6}\right)=tan\left(-18\pi+\dfrac{\pi}{2}\right)=tan\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) 

Giá trị này không tồn tại em nhé, vì \(tan\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\) không xác định.

mình làm r nha

https://hoc24.vn/cau-hoi/biet-cotadfrac12-gia-tri-bieu-thuc-adfrac4sinalpha5cosalpha2sinalpha-3cosalpha-bang-bao-nhieughi-ro-tung-loi-giai-nha.5724337531039