Theo tính chất của tam giác, ta có:

\(A+B+C=180^0\)

\(\Rightarrow\dfrac{A+B+C}{2}=90^0\)

\(\Rightarrow\dfrac{B+C}{2}=90^0-\dfrac{A}{2}\)

\(\Rightarrow tan\left(\dfrac{B+C}{2}\right)=tan\left(90^0-\dfrac{A}{2}\right)\)

\(\Rightarrow tan\left(\dfrac{B+C}{2}\right)=cot\left(\dfrac{A}{2}\right)\)

Gọi M là giao điểm d và \(\Delta\Rightarrow\) tọa độ M thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+3y+5=0\\x-y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{11}{4}\\y=-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-\dfrac{11}{4};-\dfrac{3}{4}\right)\)

Chọn \(A\left(1;-2\right)\) là 1 điểm thuộc \(\Delta\) , gọi d' là đường thẳng qua A và vuông góc d

\(\Rightarrow\) Phương trình d' có dạng:

\(1\left(x-1\right)+1\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow x+y+1=0\)

Gọi B là giao điểm d' và d \(\Rightarrow\) tọa độ B là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\x+y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

Gọi N là điểm đối xứng A qua d \(\Leftrightarrow B\) là trung điểm AN

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_N=2x_B-x_A=-4\\y_N=2y_B-y_A=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(-4;3\right)\)

Đường thẳng \(\Delta'\) đối xứng \(\Delta\) qua d nên đi qua M và N

\(\overrightarrow{MN}=\left(-\dfrac{5}{4};\dfrac{15}{4}\right)=-\dfrac{5}{4}\left(1;-3\right)\)

\(\Rightarrow\Delta'\) nhận (3;1) là 1 vtpt nên có pt:

\(3\left(x+4\right)+1\left(y-3\right)=0\Leftrightarrow3x+y+9=0\)

Đường thẳng BC nhận \(\overrightarrow{n}=\left(\sqrt{3};-3\right)\) là 1 vtpt

Gọi \(\overrightarrow{n_1}=\left(a;b\right)\) là 1 vtpt của AB (với a;b không đồng thời bằng 0)

Do tam giác ABC đều \(\Rightarrow\widehat{\left(n_1;\overrightarrow{n}\right)}=60^0\)

\(\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n}\right)=\dfrac{\left|a\sqrt{3}-3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{3+9}}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\sqrt{3}b\right)^2=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+3b^2-2\sqrt{3}ab=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow b^2=\sqrt{3}ab\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\\b=\sqrt{3}a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình 2 cạnh còn lại có dạng:

\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(x-2\right)+0\left(y-0\right)=0\\a\left(x-2\right)+\sqrt{3}a\left(y-0\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\x+\sqrt{3}y-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{sin^4\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\left[tan^2x+tan^2\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+2\right]}=\dfrac{1}{cos^4x\left(tan^2x+cot^2x+2\right)}\)

\(=\dfrac{1}{cos^4x\left(tanx+cotx\right)^2}=\dfrac{1}{cos^4x\left(\dfrac{sinx}{cosx}+\dfrac{cosx}{sinx}\right)^2}\)

\(=\dfrac{1}{cos^4x\left(\dfrac{sin^2x+cos^2x}{sinx.cosx}\right)^2}=\dfrac{1}{cos^4x.\dfrac{1}{sin^2x.cos^2x}}\)

\(=\dfrac{sin^2x}{cos^2x}=tan^2x\)

C

a.

\(d\left(I;\Delta\right)=\dfrac{\left|3.\left(-2\right)-4.3-12\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=6\)

b.

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow IH\perp AB\Rightarrow IH=d\left(I;\Delta\right)=6\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{2S_{IAB}}{IH}=16\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{1}{2}AB=8\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(R^2=IA^2=IH^2+AH^2=100\)

Phương trình đường tròn:

\(\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=100\)

\(\dfrac{x^2-3}{x^2-2x}>=2\)

=>\(\dfrac{x^2-3-2x^2+4x}{x^2-2x}>=0\)

=>\(\dfrac{-x^2+4x-3}{x^2-2x}>=0\)

=>\(\dfrac{x^2-4x+3}{x^2-2x}< =0\)

Theo BXD, ta có: 0<x<=1 hoặc 2<x<=3

A

lấy bán kính chia cho độ dài cung sẽ ra được số đo radian

có còn hơn ko,ko còn hơn có =)

tham khảo