a/ Tính góc MAN:

• Vì tam giác ABN cân tại B (BA=BN) và tam giác ACM cân tại C (CA=CM) nên:
• • Góc ANB = (180° - góc ABC) / 2
  • Góc AMC = (180° - góc ACB) / 2
• Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: góc ABC + góc ACB = 90°
• Suy ra: góc ANB + góc AMC = (360° - (góc ABC + góc ACB)) / 2 = (360° - 90°) / 2 = 135°
• Trong tam giác AMN, ta có: góc MAN = 180° - (góc ANB + góc AMC) = 180° - 135° = 45°

b/ Chứng minh MD vuông góc với AN, NE vuông góc với AM:

• Xét tam giác ABN cân tại B, tia phân giác góc ABC cắt AN tại D nên D là trung điểm của AN.
• Xét tam giác ACM cân tại C, tia phân giác góc ACB cắt AM tại E nên E là trung điểm của AM.
• Xét tam giác AMN, ta có:
• • MD là đường trung tuyến của cạnh AN.
  • NE là đường trung tuyến của cạnh AM.
• Gọi O là giao điểm của MD và AN.
• Xét tam giác ADN, ta có:
• • AD = DN (D là trung điểm AN)
  • MD là đường trung tuyến.
  • Tam giác ADN cân tại D.
  • Suy ra: MD vuông góc với AN.
• Tương tự, ta chứng minh được NE vuông góc với AM.

c/ Chứng minh tam giác IEK vuông cân:

• Gọi I là trung điểm của MN.
• Ta có:
• • ID là đường trung bình của tam giác AMN.
  • IE là đường trung bình của tam giác AMN.
• Suy ra: ID // AM và IE // AN.
• Mà AM vuông góc với NE và AN vuông góc với MD nên ID vuông góc với NE và IE vuông góc với MD.
• Xét tứ giác MDNE, ta có:
• • Góc MDN = góc MEN = 90°
  • Suy ra: tứ giác MDNE nội tiếp.
• Gọi H là giao điểm của MD và NE.
• Xét tam giác AHN vuông tại H, ta có: K là trung điểm của AH nên KH = KA = KN.
• Xét tam giác AMH vuông tại H, ta có: K là trung điểm của AH nên KH = KA = KM.
• Suy ra: KN = KM.
• Xét tam giác KMN, ta có: KN = KM và I là trung điểm của MN nên KI vuông góc với MN.
• Xét tam giác IEK, ta có:
• • IE vuông góc với MD.
  • KI vuông góc với MN.
  • Suy ra: tam giác IEK vuông tại I.
• Xét tam giác KMN cân tại K, ta có: góc KMN = góc KNM.
• Mà góc KMN = góc IEK và góc KNM = góc IKE nên góc IEK = góc IKE.
• Suy ra: tam giác IEK cân tại I.
• Vậy tam giác IEK vuông cân tại I.

Gọi số học sinh vụn ba lớp 7A,7B,7C tham gia lần lượt là a,b,c

(Điều kiện: a>0; b>0; c>0; a,b,c\(\in\)Z)

Vì số học sinh của ba lớp 7A,7B,7C tham gia lần lượt tỉ lệ với 8;9;10

=>\(\dfrac{a}{8}=\dfrac{b}{9}=\dfrac{c}{10}\)

1. Đặt biến:

• Gọi số học sinh tham gia hoạt động của lớp 7A là x.
• Gọi số học sinh tham gia hoạt động của lớp 7B là y.
• Gọi số học sinh tham gia hoạt động của lớp 7C là z.

2. Lập tỉ lệ thức:

• Theo đề bài, số học sinh của ba lớp 7A, 7B, 7C tham gia hoạt động tỉ lệ với 8, 9, 10. Ta có tỉ lệ thức:
• • x/8 = y/9 = z/10

3. Kết luận:

• Dãy tỉ số bằng nhau x/8 = y/9 = z/10 thể hiện mối quan hệ về số học sinh tham gia hoạt động giữa ba lớp 7A, 7B và 7C.
• Nếu bạn biết tổng số học sinh tham gia hoạt động của cả ba lớp, bạn có thể áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm số học sinh cụ thể của từng lớp.

Ví dụ bổ sung:

Giả sử tổng số học sinh của cả ba lớp tham gia hoạt động là 81 em. Ta có thể giải như sau:

• Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
• • x/8 = y/9 = z/10 = (x + y + z) / (8 + 9 + 10) = 81 / 27 = 3
• Từ đó, ta tìm được:
• • x = 8 * 3 = 24 (học sinh)
  • y = 9 * 3 = 27 (học sinh)
  • z = 10 * 3 = 30 (học sinh)

Vậy số học sinh tham gia hoạt động của các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 24, 27 và 30 em.

Để chứng minh rằng \(\angle A F B < \angle A F C\) trong tam giác \(A B C\), với \(A B < A C\) và \(F\) là trung điểm của \(B C\), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và góc.

Đề bài:

• Tam giác \(A B C\) có \(A B < A C\).
• \(F\) là trung điểm của \(B C\).
• Chứng minh rằng \(\angle A F B < \angle A F C\).

Lời giải:

Bước 1: Sử dụng tính chất đối xứng của tam giác

Vì \(F\) là trung điểm của \(B C\), ta có \(B F = F C\). Bây giờ, ta sẽ phân tích hai góc \(\angle A F B\) và \(\angle A F C\).

• Góc \(\angle A F B\) và \(\angle A F C\) có chung một cạnh là đoạn \(A F\) và một điểm chung là \(F\).
• Vì \(A B < A C\), ta biết rằng \(A\) gần \(B\) hơn so với \(C\). Điều này sẽ ảnh hưởng đến giá trị của các góc \(\angle A F B\) và \(\angle A F C\).

Bước 2: Tính chất của các góc trong tam giác

• Trong tam giác \(A B C\), góc \(\angle A F B\) và \(\angle A F C\) là góc ngoài tại các đỉnh \(B\) và \(C\) của tam giác \(A B C\). Theo định lý góc ngoài, góc ngoài tại một đỉnh của tam giác luôn lớn hơn góc trong cùng phía của tam giác.

Bước 3: Sử dụng định lý so sánh góc

Vì \(A B < A C\), ta có thể kết luận rằng góc \(\angle A F B\) sẽ nhỏ hơn góc \(\angle A F C\). Điều này là do góc đối diện với đoạn \(A B\) (góc \(\angle A F B\)) sẽ nhỏ hơn góc đối diện với đoạn \(A C\) (góc \(\angle A F C\)) trong tam giác.

Kết luận:

Vậy, \(\angle A F B < \angle A F C\) khi \(A B < A C\) và \(F\) là trung điểm của \(B C\), theo các tính chất hình học về góc và đối xứng trong tam giác.

a: Xét ΔOAD và ΔOBC có

OA=OB

\(\widehat{AOD}\) chung

OD=OC

Do đó: ΔOAD=ΔOBC

b: ΔOAD=ΔOBC

=>\(\widehat{OAD}=\widehat{OBC}\)

mà \(\widehat{OAD}+\widehat{DAC}=180^0\)(hai góc kề bù)
và \(\widehat{OBC}+\widehat{CBD}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{DAC}=\widehat{CBD}\)

a) Chứng minh ΔOAD = ΔOBC

• Phân tích bài toán:
• • Ta cần chứng minh hai tam giác OAD và OBC bằng nhau.
  • Đề bài đã cho các cạnh tương ứng bằng nhau: OA = OB, OC = OD.
  • Hai tam giác này có chung góc O.
• Giải:
• • Xét ΔOAD và ΔOBC, ta có:
  • • OA = OB (giả thiết)
    • ∠O chung
    • OD = OC (giả thiết)
  • Vậy ΔOAD = ΔOBC (c-g-c)

b) Chứng minh ∠CAD = ∠CBD

• Phân tích bài toán:
• • Ta cần chứng minh hai góc CAD và CBD bằng nhau.
  • Ta đã chứng minh được ΔOAD = ΔOBC ở câu a.
  • Từ hai tam giác bằng nhau, ta có thể suy ra các góc tương ứng bằng nhau.
• Giải:
• • Vì ΔOAD = ΔOBC (chứng minh trên)
  • Nên ∠ODA = ∠OCB (hai góc tương ứng)
  • Ta có:
  • • ∠CDA = 180° - ∠ODA
    • ∠BCD = 180° - ∠OCB
  • Mà ∠ODA = ∠OCB (chứng minh trên)
  • Nên ∠CDA = ∠BCD
  • Xét ΔACD và ΔBDC, ta có:
  • • CD chung
    • ∠CDA = ∠BCD (chứng minh trên)
    • AC = BD (vì OA = OB, OC = OD)
  • Vậy ΔACD = ΔBDC (c-g-c)
  • Suy ra ∠CAD = ∠CBD (hai góc tương ứng)
• Đáp số:
• • a) ΔOAD = ΔOBC
  • b) ∠CAD = ∠CBD

Xét ΔDAB và ΔDEC có

DA=DE
\(\widehat{ADB}=\widehat{EDC}\)(hai góc đối đỉnh)

DB=DC

Do đó: ΔDAB=ΔDEC

=>\(\widehat{DAB}=\widehat{DEC}\)

ΔDAB=ΔDEC
=>AB=EC

mà \(AH=\dfrac{AB}{2};EK=\dfrac{EC}{2}\)

nên HA=EK

Xét ΔHAD và ΔKED có

HA=KE

\(\widehat{HAD}=\widehat{KED}\)

AD=ED
Do đó: ΔHAD=ΔKED
=>\(\widehat{HDA}=\widehat{KDE}\)

=>\(\widehat{HDA}+\widehat{ADK}=180^0\)

=>H,D,K thẳng hàng

a: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔAED vuông tại E có

AD chung

AH=AE

Do đó: ΔAHD=ΔAED

b: ΔAHD=ΔAED

=>DH=DE

mà DE<DC(ΔDEC vuông tại E)

nên DH<DC

c: Xét ΔACK có

CH,KE là các đường cao

CH cắt KE tại D

Do đó: D là trực tâm của ΔACK

=>AD\(\perp\)CK tại M

ko

no

Giải:

Vì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = - 3 nên

y = - 3x

Khi x = 1,5 thì y = - 3 x 1,5 = -4,5

Kết luận: y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k = - 3 thì khi x = 1,5 sẽ có giá trị tương ứng của y là -4,5

Do y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k=-3 nên \(y=-3.x\)

Khi \(x=1,5\Rightarrow y=-3.1,5=-4,5\)

a: Xét ΔAHB và ΔAHC có

AH chung

HB=HC

AB=AC

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

b: ΔAHB=ΔAHC

=>\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)

mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>AH\(\perp\)BC

c: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHDC vuông tại H có

HA=HD

HB=HC

Do đó: ΔHAB=ΔHDC

=>\(\widehat{HAB}=\widehat{HDC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//DC

a: Xét ΔMIN vuông tại I và ΔMIE vuông tại I có

MI chung

\(\widehat{NMI}=\widehat{EMI}\)

Do đó: ΔMIN=ΔMIE

b: ΔMIN=ΔMIE

=>MN=ME và IN=IE

Xét ΔMND và ΔMED có

MN=ME

\(\widehat{NMD}=\widehat{EMD}\)

MD chung

Do đó: ΔMND=ΔMED

c: ΔMND=ΔMED

=>DN=DE và \(\widehat{MND}=\widehat{MED}\)

Ta có: \(\widehat{MND}+\widehat{DNC}=180^0\)(hai góc kề bù)

\(\widehat{MED}+\widehat{DEP}=180^0\)(hai góc kề bù)

mà \(\widehat{MND}=\widehat{MED}\)(ΔMND=ΔMED)

nên \(\widehat{DNC}=\widehat{DEP}\)

Xét ΔDNC và ΔDEP có

\(\widehat{DNC}=\widehat{DEP}\)

DN=DE

\(\widehat{NDC}=\widehat{EDP}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔDNC=ΔDEP

d: ΔDNC=ΔDEP

=>NC=EP

Ta có: MC=MN+NC

MP=ME+EP

mà MN=ME và NC=EP

nên MC=MP