\(|x+9|+|x-4|=13^{\left(1\right)}\)

\(\Leftrightarrow|x+9|+|4-x|=13\)

Áp dụng tính chất\(|A|+|B|\ge|A+B|\),dấu "=" xảy ra khi A;B>0    vào phương trình ⁽¹⁾

Ta được \(\Leftrightarrow|x+9|+|4-x|=13\)     \(\Leftrightarrow|x+9+4-x|=13\)

\(\Leftrightarrow|13|=13\)

phương trình xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}x+9\ge0\\4-x\ge0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow-9\le x\le4\)

vậy nghiệm của phương trình là:\(\Leftrightarrow-9\le x\le4\)

giải đúng đấy,nhớ k cho mình nha 

Ta có:\(a+b=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow2\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow2\ge a+b\)

\(N=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}=2-\frac{1}{a+1}-\frac{1}{b+1}\le2-\frac{4}{a+1+b+1}\)

\(=2-\frac{4}{a+b+2}\le2-\frac{4}{2+2}=1\)

Nên GTLN của N là 1 đạt được khi \(a=b\Rightarrow2a=2a^2\Rightarrow2a\left(a-1\right)=0\Rightarrow a=1\)

mk nè bạn

ko ket ban duoc

Áp dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge2ab\)

ta có\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\frac{ab}{bc}=2\frac{a}{c}\)

tương tự:\(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge2\frac{b}{a}\)

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}\)

Cộng 3 về bất đẳng thức trên lại với nhau ta đươc:\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

  \(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)

\(M=2x^2+2y^2-2xy-2x+2y+2\)

\(=\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)-\frac{4}{3}\left(x-y\right)+\frac{4}{9}\right]+\left(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\right)+\left(y^2+\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}\right)+\frac{4}{3}\)

\(=\left(x-y-\frac{2}{3}\right)^2+\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\left(y+\frac{1}{3}\right)^2+\frac{4}{3}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{2}{3}\)

\(M=x^2+y^2-xy-x+y+1\)

\(4M=4x^2+4y^2-4xy-4x+4y+1\)

\(4M=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+3y^2-4x+4y+1\)

\(4M=\left[\left(2x-y\right)^2-2\left(2x-y\right)+1\right]+3\left(y^2+2y+1\right)-3\)

\(4M=\left(2x-y-1\right)^2+3\left(y+1\right)^2-3\)

Mà : \(\left(2x-y-1\right)^2\ge0\forall x;y\)

\(\left(y+1\right)^2\ge0\forall y\Rightarrow3\left(y+1\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow4M\ge-3\)

\(\Leftrightarrow M\ge-\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi :

\(\hept{\begin{cases}2x-y-1=0\\y+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-y=1\\y=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}}\)

Vậy  \(M_{Min}=-\frac{3}{4}\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(0;-1\right)\)

Sửa đề: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\ge9\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}-2+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}-2+\frac{c}{b}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{a}{c}}-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{b}{c}}-\sqrt{\frac{c}{b}}\right)^2\ge0\)

Cái này đúng vậy ta có điều phải chứng minh