\(x^2+6x+13\)  

\(=x^2+6x+9+4\) 

\(=\left(x+3\right)^2+4\)

Ta có: ( x + 3 )² > 0 => ( x + 3)² + 4 > 4

=>\(\left(x+3\right)^2+4\)có giá trị nhỏ nhất bằng 4

<=> \(\left(x+3\right)^2+4=4\)

<=>\(\left(x+3\right)^2=0\)

<=>\(x+3=0\) => \(x=3\)

Vậy \(x^2+6x+13\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(4\)<=>\(x=3\)

Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc\) 

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\) 

\(=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b\right)+3abc\) 

\(=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b+c\right)\) 

\(=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b+c\right)\left(ac+bc+ab\right)\) 

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\) (đúng với a,b,c>0)

         \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3-3abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)   (*)

Do  a,b,c > 0  =>   \(a+b+c>0\)  (1)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+c^2\ge2bc\)       

\(c^2+a^2\ge2ca\)

suy ra:    \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

       \(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

      \(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)   (2)

Dấu "=" xảy ra  <=>   \(a=b=c\)

Từ (1) và (2) => BĐT (*) đc chứng minh

\(-x^2+4x-9 \)

\(\Leftrightarrow-\left(x^2-4x+9\right)\)

\(\Leftrightarrow-\left(x^2-4x+4\right)-5\).

\(\Leftrightarrow-\left(x-2\right)^2-5\)

\(Do\) \(\left(x-2\right)^2\ge0\) \(\Rightarrow-\left(x-2\right)^2\le0\) \(\Rightarrow-\left(x-2\right)^2-5\le-5\) \(\forall x\)

\(Do\) \(đó\) \(-x^2+4x-9\le-5\) \(\forall x\) \(\left(đpcm\right)\)

\(a\ge5;b\ge6;c\ge7\)

\(\Rightarrow a^2\ge25;b^2\ge36;c^2\ge49\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge25+36+49=110\)

Vì \(a\ge5;b\ge6;c\ge7\Rightarrow a< b< c\)

Vì a=5;b=6;c=7 ko thỏa mãn nên ta xét

\(a=6;b=7;c=8\Rightarrow a^2+b^2+c^2=6^2+7^2+8^2=36+49+64=139\)

=> a=5;b=6;c=7(loiaj)

rồi bn xét a=5;b=5;c=6 

thông cảm cho em nhé vì em ms lớp 6 thôi 

Ta có:\(x+1+x^2+x^3=1993^x\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)=1993^x\)

Ta thấy x=0 là một nghiệm vì 0+1+0+0=1993⁰

x <0 thì \(1993^x\)không nguyên còn \(x+1+x^2+x^3\) nguyên nên x<0 không là nghiệm