\(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+3\ge7\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\le3\)Áp dụng BĐT AM-GM ta có : 

\(A=\frac{1}{\sqrt{a^3+b^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^3c^3+1+1}}+\frac{4\sqrt{3}}{c^6+1+2a^3+8}\)

\(\le\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{4\sqrt{3}}{2c^3+2a^3+8}=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{c^3+a^3+4}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{c^3+a^3+1+1+1+1}\)

\(\le\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{2\sqrt{3}}{6\sqrt{ac}}=\frac{1}{\sqrt{3ab}}+\frac{1}{\sqrt{3bc}}+\frac{1}{\sqrt{3ac}}\)\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}\right)\)

\(\le\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)}=\sqrt{\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\right)}\le\sqrt{3}\) (Bunhiacopxki)

Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

PS : Thánh cx đc phết ha; chế đc bài này tui mới khâm phục :)))

nó ko chém đâu anh nó chép trong toán tuổi thơ đấy,thk này khốn nạn lắm

Ta có : \(AD//Bx\left(gt\right)\)

Theo hệ quả định lí Talét :

\(\frac{AD}{BE}=\frac{CD}{CB}\left(1\right)\)

Tương tự \(\Delta BFC\)có \(Cy//AD\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{CF}=\frac{BD}{CB}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có :

\(\frac{AD}{BE}+\frac{AD}{CF}=\frac{CD+BD}{CB}=\frac{CB}{CB}=1\)

\(\Rightarrow AD\left(\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{1}{AD}\left(ĐPCM\right)\)

#phuongmato

ĐK : \(\hept{\begin{cases}ax-1\ne0\\bx-1\ne0\\\left(a+b\right)x-1\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}ax\ne1\\bx\ne1\\\left(a+b\right)x\ne1\end{cases}}}\)     (2) 

        Ta có thể viết phương trình dưới dạng : \(abx\left[\left(a+b\right)x-2\right]=0\)  (3) 

TH1 : a = b = 0 

Điều kiện 2 luôn đúng , khi có : 

(3) \(\Leftrightarrow0x=0\), phương trình nghiệm đúng \(\forall x\in R\)

TH2 : Nếu \(\hept{\begin{cases}a=0\\b\ne0\end{cases}}\)

Điều kiện (2) trở thành \(x\ne\frac{1}{b}\), khi đó : 

(3) \(\Leftrightarrow0x=0\),  phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\ne\frac{1}{b}\)

TH3 : Nếu \(\hept{\begin{cases}a\ne0\\b\ne0\end{cases}}\)

Điều kiện (2) trở thành \(x\ne\frac{1}{a}\), khi đó : 

(3) \(\Leftrightarrow0x=0\),  phương trình nghiệm đúng với \(\forall x\ne\frac{1}{a}\)

TH4 : Nếu '\(\hept{\begin{cases}a\ne0\\a+b=0\end{cases}\Leftrightarrow b=-a\ne0}\)

Điều kiện (2) trở thành \(x\ne\frac{1}{a}\)và \(x\ne\frac{1}{b}\)

Khi đó : (3) \(\Leftrightarrow x=0\),  là nghiệm duy nhất của phương trình . 

TH5 : Nếu \(\hept{\begin{cases}a\ne0\\b\ne0\\a+b\ne0\end{cases}}\)

Điều kiện (2) trở thành \(x\ne\frac{1}{a}\)và \(x\ne\frac{1}{b}\)và \(x\ne\frac{1}{a+b}\Rightarrow\)(2) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{2}{a+b}\end{cases}}\)

Nghiệm \(x=\frac{2}{a+b}\)chỉ thỏa mãn đk khi a\(\ne\)b 

KL : ............

BĐT cô-si, ta có:

\(\left(a+b\right)\ge2\sqrt{ab}\)

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

Nhân từng vế của BĐT

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)(đpcm)

Sử dụng bất đẳng thức Côsi :

 Cho cặp số a, b, ta được : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)              (1) 

Cho cặp số \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\), ta được : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)​ (2) 

Nhấn 2 vế (1) và (2), ta được : 

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot\frac{2}{\sqrt{ab}}=4\left(đpcm\right)\)

Vậy đẳng thức xảy ra khi  : \(\hept{\begin{cases}a=b\\\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\end{cases}\Leftrightarrow a=b}\)

Nhiệt lượng cần để cục nước đá tăng từ -10 độ C đến 0 độ C là:

\(Q_1=m\times C\times\Delta t=0.2\times2100\times\left(0-\left(-10\right)\right)=4200\left(J\right)\)

Nhiệt lượng cần để cục nước đá nóng chảy hoàn toàn ở 0 độ C là:

\(Q_2=3.4\times10^5\times0.2=68000\left(J\right)\)

Nhiệt lượng cần để nước tăng từ 0 độ C đến 100 độ C là:

\(Q_3=0.2\times4200\times\left(100-0\right)=84000\left(J\right)\)

Nhiệt lượng cần để nước hóa hơi hoàn toàn là:

\(Q_4=2.3\times10^6\times0.2=460000\left(J\right)\)

Vậy nhiệt lượng cần để cục nước đá hóa hơi hoàn toàn ở 100 độ C là:

\(Q=Q_1+Q_2+Q_3+Q_4=4200+68000+84000+460000=616200\left(J\right)\)

Vậy.....................

Lực đẩy Ác si mét :)))))))))

Ta tính trọng lượng P của quả cầu đó

\(\Rightarrow P=10D.V_{đặc}\)\(\Rightarrow V_{đặc}=\frac{P}{10D}\Rightarrow V_{rỗng}=V-V_{đặc}\)

\(\Rightarrow V-\frac{P}{10D}\)

nhầm xíu nhá mk lm lại :

\(A=\frac{xz}{z\left(xy+x+1\right)}+\frac{xyz}{xz\left(yz+y+1\right)}+\frac{z}{xz+z+1}\)\(=\frac{xz}{xyz+xz+z}+\frac{1}{xyz^2+xyz+xz}+\frac{z}{xz+z+1}\)

\(=\frac{xz}{1+xz+z}+\frac{1}{z+1+xz}+\frac{z}{xz+z+1}\)

\(=\frac{xz+z+1}{xz+z+1}=1\)

\(A=\frac{x}{xy+x+1}+\frac{y}{yz+y+1}+\frac{z}{xz+z+1}=\frac{xz}{z\left(xy+x+1\right)}+\frac{xyz}{xz\left(yz+y+1\right)}+\frac{z}{xz+z+1}\)

\(=\frac{xy}{xyz+xz+z}+\frac{1}{xyz^2+xyz+xz}+\frac{z}{xz+z+1}=\frac{xy}{xz+z+1}+\frac{1}{xz+z+1}+\frac{z}{xz+z+1}\)

\(=\frac{xy+1+z}{xz+z+1}=1\)

vậy A=1

Vì a;b;c là 2 cạnh của một tam giác (a;b;c > 0)

Nên Áp dụng BĐT tam giác: a < b + c 

Vậy ta có: \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự: \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c}\)

                 \(\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng vế theo vế ba BĐT trên ta được: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2c+2b+2a}{a+b+c}=\frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Vậy \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>2\)

Nhà khoa học người Anh, Stephen Hawking, vừa mới qua đời, hưởng thọ 76 tuổi. Ông là người đặt nền móng cho ngành vũ trụ học, cha đẻ của lý thuyết hố đen phát ra bức xạ (tức bức xạ Hawking) nổi tiếng. Năm 1963, khi còn là nghiên cứu sinh cao học, Ông mắc bệnh xơ cứng teo cơ, một căn bệnh làm giảm khả năng kiểm soát cơ thể, khiến ông chỉ có thể động đậy ngón tay và cử động mắt, nhưng không ảnh hưởng đến trí tuệ và khả năng tư duy của ông. Một người bạn đã làm máy hỗ trợ ngôn ngữ cho Ông và do vậy Ông vẫn tiếp tục nghiên cứu và giảng dạy cho đến hôm nay.

Cuốn sách khoa học nổi tiếng của ông: A Brief History of Time (Lược sử thời gian, sách đã được dịch sang tiếng Việt), giải thích nhiều chủ đề phức tạp của Vũ trụ học chỉ bằng ngôn ngữ phổ thông. (Các bạn học sinh chưa đọc cuốn sách trên thì nên đọc nhé).  

Thế giới đã mất đi một nhà khoa học vĩ đại, nhưng Ông đã để lại nhiều bí mật của vũ trụ chúng ta đang sống.

Đặt \(D=\frac{n^2+3n+3}{2n+1}\).Vì \(D\inℤ\Rightarrow4D\inℤ\)

Ta có \(4D=\frac{4n^2+12n+12}{2n+1}=\frac{\left(2n+1\right)^2+4\left(2n+1\right)+7}{2n+1}=2n+5+\frac{7}{2n+1}\).

Với n nguyên, để 4D là số nguyên thì \(7⋮2n+1\Rightarrow n\in\left\{-4;-1;0;3\right\}\)

Thử lại ta thấy các giá trị nguyên âm của n thỏa mãn là \(n=-4;n=-1\)

Vậy \(n\in\left\{-4;-1\right\}\)