ĐKXĐ: \(x\ge-\dfrac{4}{3}\)

\(\left(x^2+6x+13\right)\left(\dfrac{9\left(5x+9\right)-4\left(3x+4\right)}{3\sqrt{5x+9}+2\sqrt{3x+4}}\right)=33x+65\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2+6x+9\right)\left(33x+65\right)}{3\sqrt{5x+9}+2\sqrt{3x+4}}=33x+65\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{65}{33}< -\dfrac{4}{3}\left(ktm\right)\\x^2+6x+9=3\sqrt{5x+9}+2\sqrt{3x+4}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1)

\(\Leftrightarrow x^2+x+3\left(x+3-\sqrt{5x+9}\right)+2\left(x+2-\sqrt{3x+4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x+\dfrac{3\left(x^2+x\right)}{x+3+\sqrt{5x+9}}+\dfrac{2\left(x^2+x\right)}{x+2+\sqrt{3x+4}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)\left(1+\dfrac{3}{x+3+\sqrt{5x+9}}+\dfrac{2}{x+2+\sqrt{3x+4}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=0\) (ngoặc phía sau luôn dương khi \(x\ge-\dfrac{4}{3}\))

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)

e.

\(\overrightarrow{OB}=\left(1;2\right)\)

Do AH vuông góc OB nên đường thẳng AH nhận (2;-1) là 1 vtcp

Phương trình AH:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=-2-t\end{matrix}\right.\)

f.

Gọi M là trung điểm của OA \(\Rightarrow M\left(\dfrac{1}{2};-1\right)\)

\(\overrightarrow{OA}=\left(1;-2\right)\)

Do trung trực của OA đi qua M và vuông góc OA nên nhận (1;-2) là 1 vtpt

Phương trình trung trực OA:

\(1\left(x-\dfrac{1}{2}\right)-2\left(y+1\right)\Leftrightarrow x-2y+\dfrac{3}{2}=0\)

dạ đa tạ a nhiều

Đề bài thiếu điểm C nên ko thể viết được pt trung tuyến BM

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{OA}=\left(1;-2\right)\\\overrightarrow{OB}=\left(1;2\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OA=\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt{5}\\OB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow OA=OB\Rightarrow\Delta OAB\) cân tại O

Ha.

\(f\left(x\right)\ge0\) khi \(\left[{}\begin{matrix}x\le1\\x\ge4\end{matrix}\right.\)

\(f\left(x\right)< 0\) khi \(1< x< 4\)

b.

\(f\left(x\right)\ge0\) khi \(1\le x\le3\)

\(f\left(x\right)< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>3\end{matrix}\right.\)

c.

\(f\left(x\right)\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-3\\x\ge1\\\end{matrix}\right.\)

\(f\left(x\right)< 0\Rightarrow-3< x< 1\)

d.

Hình này thực sự ko nhìn thấy con số, quá nhỏ

e thật sự cảm ơn a rất nhìu

H1: \(f\left(x\right)>0;\forall x\in R\)

H2: \(f\left(x\right)\ge0\) với \(-1\le x\le3\)

\(f\left(x\right)< 0\) với \(\left[{}\begin{matrix}x< -1\\x>3\end{matrix}\right.\)

H3: \(f\left(x\right)\ge0\) với \(\left[{}\begin{matrix}x\le-3\\x\ge1\end{matrix}\right.\)

\(f\left(x\right)< 0\) với \(-3< x< 1\)

H4: \(f\left(x\right)\ge0\) với \(\left[{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge3\end{matrix}\right.\)

\(f\left(x\right)< 0\) với \(-1< x< 3\)

 e cảm ơn ạ

\(f\left(x\right)=-x^2-2x-m\)

\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-m\right)\)

\(=4+4\left(-m\right)=-4m+4\)

Để f(x)<0 với mọi x thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< 0\\a< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-4m+4< 0\\-1< 0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>-4m+4<0

=>-4m<-4

=>m>1

a: \(f\left(x\right)=-x^2+2\left(m+2\right)x-m\left(m+4\right)\)

\(\text{Δ}=\left[2\left(m+2\right)\right]^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-m\right)\left(m+4\right)\)

\(=4\left(m^2+4m+4\right)+4\left(-m^2-4m\right)\)

\(=4m^2+16m+16-4m^2-16m=16>0\)

Để f(x)<=0 với mọi x thuộc R thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}16< =0\left(sai\right)\\-1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\varnothing\)

TH1: m=1

\(f\left(x\right)=\left(1^2-1\right)x^2+\left(1-1\right)x+1=1>0\forall x\)

=>NHận

TH2: m=-1

\(f\left(x\right)=\left[\left(-1\right)^2-1\right]x^2+\left(-1-1\right)x+1=-2x+1\)

Vì f(x)=-2x+1 là hàm số bậc nhất nên f(x) không thể luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 được

=>Loại

TH3: \(m\notin\left\{1;-1\right\}\)

\(f\left(x\right)=\left(m^2-1\right)x^2+\left(m-1\right)x+1\)

\(\text{Δ}=\left(m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)\cdot1\)

\(=m^2-2m+1-4m^2+4=-3m^2-2m+5\)

Để f(x)<=0 với mọi x thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3m^2-2m+5< =0\\m^2-1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3m^2+2m-5>=0\\-1< m< 1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(3m+5\right)\left(m-1\right)>=0\\-1< m< 1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-1< m< 1\\\left[{}\begin{matrix}m>=1\\m< =-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\varnothing\)

Vậy: m=1