O B A M N C E F

a) Do C là giao điểm của BN với đường tròn nên C thuộc đường tròn.

Lại có AB là đường kính nên \(\widehat{ACB}=90^o\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Vậy nên tam giác ABC vuông tại C.

b) Do M thuộc đường tròn nên \(\widehat{AMB}=90^o\Rightarrow EM\perp AN\)

Ta cũng có \(NC\perp AE\)

Xét tam giác ANE có EM, NC là các đường cao nên B là trực tâm.

Vậy thì \(AB\perp NE\)

c) Xét tứ giác AFNE có : MA = MN; MF = ME nên AFNE là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết)

\(\Rightarrow\) FN // AE

Ta chứng minh BA = BN và \(BN\perp FN\)

Thật vậy, xét tam giác ABN có MA = MN, \(BM\perp AN\) nên ABN là tam giác cân.

Vậy BA = BN

Ta có \(NC\perp AE\Rightarrow NC\perp FN\)

Suy ra NF là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Em chưa học tới góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Bài này có trong đề Violympic toán 9 vòng 7 năm học 2017 2018

Đề bài này bị sai, trong căn thứ nhất không có x² mà x thôi. Mình đã sửa đề và dùng shift solve ( hoặc biến đổi) được kết quả đúng là 2

\(\sqrt{x+3+2\sqrt{3x}}-\sqrt{x+3-2\sqrt{3x}}=2\sqrt{2}\)

<=> \(\sqrt{\left(\sqrt{x}\right)^2+2\sqrt{3}\sqrt{x}+\left(\sqrt{3}\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{x}\right)^2-2\sqrt{3}\sqrt{x}+\left(\sqrt{3}\right)^2}=2\sqrt{2}\)

<=>\(\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)^2}=2\sqrt{2}\)

<=>\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)=2\sqrt{2}\)

<=>\(2\sqrt{x}=2\sqrt{2}\)

<=>\(\sqrt{x}=\sqrt{2}\)

<=>\(x=2\)

A=a^3/24+a^2/8+a/12 
= (a^3+ 3 a^2+ 2) /24 = a(a+1)(a+2)/24 
ta cần CM a(a+1)(a+2) chia hết cho 24 
để dễ hiểu mình sẽ trình bày cụ thể, còn nếu muốn rút gọn thì b có thể tự trình bày lại nhá :D 
do a chắn => a=4k hoặc a=4k+2 (k thuộc Z) 
TH1: a=4k; a+2=4k+2 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8 
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24 

TH2: a=4k+2, a+2= 4k+4 (k thuộc Z) 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 4*2=8 
và trong 3 số a, a+1, a+2 có 1 số chia hết cho 3 mà (3;8)=1 
=> a(a+1)(a+2) chia hết cho 24 

vậy A=a^3/24+a^2/8+a/12 luôn có giá trị nguyên 

M = a^3+3a^2+2a/24

    = (a^3+a^2)+(2a^2+2a)/24

    = (a+1).(a^2+2a)/24 = a.(a+1).(a+2)/24

a chẵn nên a có dạng 2k ( k thuộc Z ) 

Khi đó : M = 2k.(2k+1).(2k+2)/24 = k.(2k+1).(k+1)/6

Đặt k.(k+1).(2k+1) = B

Ta thấy : k;k+1 là 2 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 =>B chia hết cho 2 (1)

Nếu k chia hết cho 3 => B chia hết cho 3

Nếu k chia 3 dư 1 => 2k+1 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3

Nếu k chia 3 dư 2 => k+1 chia hết cho 3 => B chia hết cho 3

Vậy B chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) => B chia hết cho 6 ( vì 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau )

=> M = B/6 là 1 số nguyên