Khai triển, BĐT cần chứng minh tương đương 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}\)

Áp dụng AM-GM:

\(\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\frac{b}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^2}{ac}}=\frac{3b}{\sqrt[3]{abc}}\)

\(\frac{c}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\ge3\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=\frac{3c}{\sqrt[3]{abc}}\)

Cộng theo vế: \(3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{abc}}\)\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\)

Còn chứng minh \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\) hoàn toàn tương tự.Ta thu được đpcm

Dấu = xảy ra khi a=b=c

Điểm rơi: x=4;y=2;z=4 

\(A=x^2+4xy+4y^2+2z^2=\left(x-2y\right)^2+8xy+2z^2\)

Mà \(xyz=32\Leftrightarrow z^2=\frac{32^2}{x^2y^2}\)

\(VT=\left(x-2y\right)^2+8xy+\frac{2.32^2}{x^2y^2}\ge0+4xy+4xy+\frac{2.32^2}{x^2y^2}\)

Áp dụng AM-GM:

\(4xy+4xy+\frac{2048}{x^2y^2}\ge3\sqrt[3]{32768}=96\)

\(VT\ge96\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=2y\\xy=8\end{cases}}\)....

Ta có: \(VT=a^2+b^2+\frac{ab+1}{a^2}=a^2+\frac{a^2b^2+ab+1}{a^2}\ge a^2+\frac{\frac{3}{4}}{a^2}\ge2\sqrt{\frac{3}{4}}=\sqrt{3}\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^4=\frac{3}{4}\\ab=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Nothing of ý tưởng cho câu này :<

Quy đồng thần chưởng thôi :|, tua qua đoạn quy đồng mẫu tử đi nhé :v

\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(a^4c^2+a^2b^4+b^2c^4-a^3bc^2-a^2b^3c-ab^2c^3\right)+\left(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3-3a^2b^2c^2\right)}{abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)

Dễ thấy: \(abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)>0\forall a,b,c\)

Giờ cần chứng minh \(a^4c^2+a^2b^4+b^2c^4\ge a^3bc^2+a^2b^3c+ab^2c^3\)

Và \(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3\ge3a^2b^2c^2\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^6}=3a^2b^2c^2\) (đúng)

Ko mất tính tq giả sử \(a\ge b\ge c\)

Khi đó \(a^4c^2+a^2b^4+b^2c^4\ge a^3bc^2+a^2b^3c+ab^2c^3\)

\(\Leftrightarrow c^2\left(a-b\right)\left(a^3-b^2c\right)+b^2\left(b-c\right)\left(a^2b-c^3\right)\ge0\) (đúng)

Hay ta có ĐPCM 

ta sẽ cm 2(a^4+b^4)>=(a+b)(a^3+b^3) 
<=> (a-b)^2 (a^2 + ab+b^2) >= 0 (đúng) 
vậy 2(a^4+b^4)>=(a+b)(a^3+b^3) 
mà a+b>=2 
=> 2(a^4+b^4)>=(a+b)(a^3+b^3) >= 2(a^3+b^3) 
=> a^4 + b^4 >= a^3 + b^3

S=m^2-16m+36/(m^2+4m+4)=m^2+4m+4-20m-40+72/m^2+4m+4

=((m+2)^2-20(m+2)+72)/(m+2)^2=1-20/(m+2)+72/(m+2)^2.

Đặt 1/m+2=x;S viết lại:S=72x^2-20x+1.Sau đó có GTNN của S là-7/18.Rồi tự tìm m nhé bn.