Tính: \(\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right).....\left(1-\frac{1}{100^2}\right)\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z (x,y,z>0 vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
Ta có: \(x+y=b+c-a+c+a-b=2c\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}\)
Tương tự: \(a=\frac{y+z}{2};b=\frac{z+x}{2}\)
Do đó: \(VT=\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{z+x}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}=\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(\Leftrightarrow2VT=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\ge2+2+2=6\) (áp dụng BĐT m/n+n/m >= 2)
\(\Leftrightarrow VT\ge3=VP\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z <=> a=b=c
P/s: đây là phương pháp đặt ẩn nhé
Đặt \(b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z\)(\(x,y,z>0\)vì \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác)
Ta có: \(x+y=b+c-a+c+a-b=2c\Rightarrow c=\frac{x+y}{2}\)
Tương tự: \(a=\frac{y+z}{2};b=\frac{z+x}{2}\)
Do đó: \(VT=\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{z+x}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}=\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)
\(\Leftrightarrow2VT=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\ge2+2+2=6\)
(áp dụng BĐT \(\frac{m}{n}+\frac{n}{m}>=2\))
\(\Leftrightarrow VT\ge3=VP\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\)
P/c: Đây là phương pháp đặt ẩn nhé !
510 - 3.58
= 58 . (52 - 3)
= 58 . 22
= 58 . 11 . 2
= 11 . (58. 2)
=> 11 . (58 .2) \(⋮\)11
\(\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)...\left(1-\frac{1}{100^2}\right)\)
\(=\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{15}{16}\cdot...\cdot\frac{9999}{10000}\)
\(=\frac{\left(1\cdot3\right)\left(2\cdot4\right)\left(3\cdot5\right)...\left(99\cdot101\right)}{\left(2\cdot2\right)\left(3\cdot3\right)\left(4\cdot4\right)...\left(100\cdot100\right)}\)
\(=\frac{\left(1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot99\right)\left(3\cdot4\cdot5...\cdot101\right)}{\left(2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot100\right)\left(2\cdot3\cdot4\cdot...\cdot100\right)}\)
\(=\frac{1\cdot101}{100\cdot2}\)
\(=\frac{101}{200}\)