Lời giải:

Lấy PT(1) + 3PT(2) ta được:
$mx-3y+3x+3y=7$

$\Leftrightarrow x(m+3)=7(*)$

Để hpt có nghiệm duy nhất $(x,y)$ thì pt $(*)$ phải có nghiệm $x$ duy nhất.

Điều này xảy ra khi $m+3\neq 0\Leftrightarrow m\neq -3$
Khi đó:

$x=\frac{7}{m+3}$

$x=1-y=1-\frac{7}{m+3}=\frac{m-4}{m+3}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta thấy:

$x^2+y^2\geq \frac{1}{2}(x+y)^2=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow x^2+y^2$ đạt min bằng $\frac{1}{2}$. Giá trị này đạt tại $x=y$

$\Leftrightarrow \frac{7}{m+3}=\frac{m-4}{m+3}$

$\Leftrihgtarrow 7=m-4$

$\Leftrightarrow m=11$ 

ĐKXĐ: x<>2 và y<>-1

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{2}{y+1}=\dfrac{17}{5}\\\dfrac{2x-2}{x-2}+\dfrac{y+2}{y+1}=\dfrac{26}{5}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{2}{y+1}=\dfrac{17}{5}\\\dfrac{2x-4+2}{x-2}+\dfrac{y+1+1}{y+1}=\dfrac{26}{5}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{2}{y+1}=\dfrac{17}{5}\\2+\dfrac{2}{x-2}+1+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{26}{5}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{2}{y+1}=\dfrac{17}{5}\\\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{11}{5}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{2}{y+1}=\dfrac{17}{5}\\\dfrac{4}{x-2}+\dfrac{2}{y+1}=\dfrac{22}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{1}{x-2}=-\dfrac{5}{5}=-1\\\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{11}{5}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-2=1\\\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{11}{5}-2=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-2=1\\y+1=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=4\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

ĐKXĐ: x>=0

\(P=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+1+2}{\sqrt{x}+1}\)

\(=1+\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\)

\(\sqrt{x}+1>=1\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>\(\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}< =2\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>\(\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}+1< =2+1=3\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ

=>P<=3 với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi x=0

Lời giải:

$A=x^3+y^3+xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+xy$

$=1-3xy+xy=1-2xy=(x+y)^2-2xy=x^2+y^2$

Áp dụng BĐT Cô-si:

$x^2+\frac{1}{4}\geq x$

$y^2+\frac{1}{4}\geq y$

$\Rightarrow A=x^2+y^2\geq x+y-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy $A_{\min}=\frac{1}{2}$

Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$

a: Xét (T) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>AE\(\perp\)BM tại E

Xét tứ giác MOAE có \(\widehat{MOA}+\widehat{MEA}=90^0+90^0=180^0\)

nên MOAE là tứ giác nội tiếp

=>M,O,A,E cùng thuộc một đường tròn