SA=SC

OA=OC

=>SO là trung trực của AC

=>SO vuông góc AC(1)

SB=SD

OB=OD

=>SO là trung trực của BD

=>SO vuông góc BD(2)

Từ (1), (2) suy ra SO vuông góc (ABCD)

=>SO vuông góc CB

a.

\(u_5=18\Rightarrow u_1+4d=18\) (1)

\(4S_n=S_{2n}\Rightarrow\dfrac{4n\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}=\dfrac{2n\left(2u_1+\left(2n-1\right)d\right)}{2}\)

\(\Rightarrow4u_1+2\left(n-1\right)d=2u_1+\left(2n-1\right)d\)

\(\Rightarrow2u_1-d=0\Rightarrow d=2u_1\) (2)

Thế (2) vào (1):

\(\Rightarrow9u_1=18\Rightarrow u_1=2\Rightarrow d=4\)

b.

Do a;b;c là 3 số hạng liên tiếp của 1 CSC công sai 2 nên: \(\left\{{}\begin{matrix}b=a+2\\c=a+4\end{matrix}\right.\)

Khi tăng số thứ nhất thêm 1, số thứ 2 thêm 1 và số thứ 3 thêm 3 được 1 cấp số nhân nên:

\(\left(a+1\right)\left(c+3\right)=\left(b+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a+7\right)=\left(a+3\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+8a+7=a^2+6a+9\)

\(\Rightarrow a=1\Rightarrow b=3\Rightarrow c=5\)

\(\Leftrightarrow2cos4x\left(cos2x-sin2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow cos4x=0\) (do \(cos4x=cos^22x-sin^22x\) đã bao hàm \(cos2x-sin2x\))

\(\Rightarrow4x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{4}\)

a: ΔABC cân tại A
mà AM là trung tuyến

nên AM vuông góc BC

mà DA vuông góc (ABC)

nên BC vuông góc (DAM)

=>CB vuông góc AH

mà DM vuông góc AH

nên AH vuông góc (DBC)

b: Kẻ MN//AC(N thuộc AB)

=>(DM;AC)=(DM;MN)=góc DMN hoặc =180 độ-góc DMN

MN=1/2AC=a/2; AN=a/2

DN^2=DA^2+AN^2=89/100a^2

=>AM^2=AB^2-MA^2=a^2-9/25a^2=16/25a^2

=>AM=4/5a

AD=4/5a

=>\(DM=\dfrac{4a\sqrt{2}}{5}\)

DN^2=DM^2+MN^2-2*DM*MN*cosDMN

=>\(\cos DMN=\dfrac{2\sqrt{2}}{5}\)

=>\(\left(AC;DM\right)\simeq56^0\)

c: G1G2//DA

mà DA vuông góc (ABC)

nên G1G2 vuông góc (ABC)

BD vuông gó AE

SA vuông góc BD

=>BD vuông góc (SAE)

=>BD vuông góc AH

mà AH vuông góc SE

nên AH vuông góc (SBD)

BH vuông góc AC
BH vuông góc SA

=>BH vuông góc (SAC)

=>BH vuông góc SC

SC vuông góc BK

SC vuông góc BH

=>SC vuông góc (BHK)

x^3-x^2(m+3)+x(3m+2)-2m=0

=>(x-1)(x^2-(m+2)x+2m)=0

=>x=1 hoặc x^2-(m+2)x+2m=0

Để PT có 3 nghiệm thì (m+2)^2-4*2m>0 và 1^2-(m+2)+2m<>0

=>m<>1 và m<>2

=>x2=(m+2-m+2)/2=2 và x3=(m+2+m-2)/2=m

Để tạo thành cấp sô nhân thì

x1<x2<m hoặc  m<x1<x2  hoặc x1<m<x2

=>m*1=2^2 hoặc 2m=1 hoặc m^2=2

=>m=4 hoặc m=1/2 hoặc m=căn 2

a: AD vuông góc SA

AD vuông góc AB

=>AD vuông góc (SAB)

AB vuông góc AD

AB vuông góc SA

=>AB vuông góc (SAD)

b:

\(SB=\sqrt{\left(3a\right)^2+a^2}=a\sqrt{10}\)

\(SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{9a^2+2a^2}=a\sqrt{11}\)

\(SM=\dfrac{SA^2}{SB}=\dfrac{9a^2}{a\sqrt{10}}=\dfrac{9a}{\sqrt{10}}\)

\(cosMSC=cosBSC=\dfrac{SB^2+SC^2-BC^2}{2\cdot SB\cdot SC}=\dfrac{10a^2+11a^2-a^2}{2\cdot a\sqrt{10}\cdot a\sqrt{11}}=\dfrac{\sqrt{110}}{11}\)

vecto AM*vecto SC

=vecto SC*vecto SM-vecto SC*vecto SA

=\(SC\cdot SM\cdot cosCSM-SC\cdot SA\cdot cosASC\)

\(=a\sqrt{11}\cdot\dfrac{9}{\sqrt{10}}\cdot a\cdot\dfrac{\sqrt{110}}{11}-a\sqrt{11}\cdot3a\cdot\dfrac{3a}{a\sqrt{11}}=0\)

=>AM vuông góc SC

a: BC vuông góc AM

BC vuông góc SA

=>BC vuông góc (SAM)

b: BC vuông góc (SAM)

=>BC vuông góc SM

=>(SM;(ABC))=90 độ

Đặt \(x=\sqrt{\dfrac{a}{bc}}\) ; \(y=\sqrt{\dfrac{b}{ca}}\) ; \(z=\sqrt{\dfrac{c}{ab}}\)

\(\Rightarrow a=\dfrac{1}{yz}\) ; \(b=\dfrac{1}{zx}\) ; \(c=\dfrac{1}{xy}\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

Khi đó, tồn tại một tam giác ABC sao cho:

\(x=tan\dfrac{A}{2}\) ; \(y=tan\dfrac{B}{2}\) ; \(z=tan\dfrac{C}{2}\)

Thay vào bài toán:

\(A=\dfrac{x^2}{1+x^2}+\sqrt{3}\left(\dfrac{y^2}{1+y^2}+\dfrac{z^2}{1+z^2}\right)\)

\(=\dfrac{tan^2\dfrac{A}{2}}{1+tan^2\dfrac{A}{2}}+\sqrt{3}\left(\dfrac{tan^2\dfrac{B}{2}}{1+tan^2\dfrac{B}{2}}+\dfrac{tan^2\dfrac{C}{2}}{1+tan^2\dfrac{C}{2}}\right)\)

\(=sin^2\dfrac{A}{2}+\sqrt{3}\left(sin^2\dfrac{B}{2}+sin^2\dfrac{C}{2}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cosA+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(2-cosB-cosC\right)\)

\(=\dfrac{1+2\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\left(cosA+\sqrt{3}cosB+\sqrt{3}cosC\right)\)

Xét \(B=cosA+\sqrt{3}\left(cosB+cosC\right)=cosA+2\sqrt{3}cos\dfrac{B+C}{2}cos\dfrac{B-C}{2}\)

\(\le cosA+2\sqrt{3}cos\dfrac{B+C}{2}=-2sin^2\dfrac{A}{2}+2\sqrt{3}sin\dfrac{A}{2}+1\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-2t^2+2\sqrt{3}sint+1\) với \(t\in\left(0;1\right)\)

\(f'\left(t\right)=-4t+2\sqrt{3}=0\Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(f\left(0\right)=1\) ; \(f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{5}{2}\) ; \(f\left(1\right)=2\sqrt{3}-1\)

\(\Rightarrow B_{max}=\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1+2\sqrt{3}}{2}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{4\sqrt{3}-3}{4}\)