Ta có:

 \(A=\frac{4x+5}{x^2+2x+6}=\frac{x^2+2x+6-x^2-2x-6+4x+5}{x^2+2x+6}\)

\(=\frac{\left(x^2+2x+6\right)-x^2+2x-1}{x^2+2x+6}=1-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2x+6}\le1\)

=> max A = 1 tại x = 1

\(A=\frac{4x+5}{x^2+2x+6}=\frac{-\frac{4}{5}\left(x^2+2x+6\right)+\frac{4}{5}\left(x^2+2x+6\right)+4x+5}{x^2+2x+6}\)

\(=-\frac{4}{5}+\frac{4x^2+28x+49}{5\left(x^2+2x+6\right)}=-\frac{4}{5}+\frac{\left(2x+7\right)^2}{5\left(x^2+2x+6\right)}\ge-\frac{4}{5}\)

=> min A = -4/5 <=> 2x + 7 = 0 <=> x = -7/2

Vậy...

sa là ??????

Câu hỏi của Bùi Nhật Minh - Toán lớp 5 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!

Ta có: \(x^2-y^2=100.110^{2n}\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)=\left(10\right)^2.11^{2n}.10^{2n}\)là số chẵn

=> x - y; x + y cùng chẵn

Đặt: 2a = x - y; 2b = x + y (b>a >0) 

Khi đó: \(2a.2b=5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n+2}\)

<=> \(ab=5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n}\)

=> a là ước nguyên dương của \(5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n}\)

=> a có dạng \(a=5^s.11^t.2^r\) với: \(0\le s\le2n+2;0\le t\le2n;0\le r\le2n\)

Ta có:  s có 2n + 3 cách chọn;  t có 2n +1 cách chọn; r có 2n + 1 cách chọn 

Vì s, t, r độc lập nên a có: (2n + 3)(2n + 1)( 2n +1 ) cách chọn.

Với mỗi cách chọn a có một cách chọn b => có: \(\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2\) ngiệm (a;b) 

Tuy nhiên chú ý: b > a> 0 và trong các cặp nghiệm (a; b ) trên có một cặp nghiệm thỏa mãn a = b.

Nên số nghiệm (a;b) thỏa mãn  b> a> 0 là \(\frac{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2-1}{2}\)

Và với mỗi nghiệm (a;b) thỏa mãn đk : b > a> 0 thì  có 1 cặp nghiệm (x;y)

=> Số nghiệm nguyên của phương trình ban đầu là: \(\frac{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2-1}{2}=\frac{\left(2n+2\right)\left(2n+1\right)^2+\left(2n+1\right)^2-1}{2}\)

\(=\left(n+1\right)\left(2n+1\right)^2+2n\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(4n^2+6n+1\right)\)(1) ( với n nguyên dương )

Nhận xét: \(\left(4n^2+6n+1;n+1\right)=1\)(2)

Chứng minh: Thật vậy: Đặt: \(\left(4n^2+6n+1;n+1\right)=d\)

Khi đó: \(4n^2+6n+1-4\left(n+1\right)^2⋮d\)

=> \(-2n-3⋮d\)

=> \(\left(-2n-3\right)+2\left(n+1\right)⋮d\)

=> \(-1⋮d\)

=> d = 1

Từ (1); (2)  số nghiệm nguyên (x; y) là số chính phương  <=> \(4n^2+6n+1\)và n +1 đồng thời là hai số chính phương với mọi n nguyên dương 

Mà: 

\(4n^2+4n+1< 4n^2+6n+1< 4n^2+8n+4\)với mọi số nguyên dương n

=> \(\left(2n+1\right)^2< 4n^2+6n+1< \left(2n+2\right)^2\)

=>   \(4n^2+6n+1\)không là số chính phương

Vậy nên số ngiệm phương trình không phải là số chính phương.

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=ck\\b=dk\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{k^2\left(c^2+d^2\right)}{c^2+d^2}=k^2\)(1)

và \(\frac{ab}{cd}=\frac{cdk^2}{cd}=k^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}\)