a)Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\left(a,b,c,d\ne0\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\left(c\ne d,a\ne b\right)\Leftrightarrow\frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\)

b)a)Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 

\(\frac{a+2019}{a-2019}=\frac{b+2020}{b-2020}\left(đk:a\ne\pm2019,b\ne\pm2020\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{a+2019}{b+2020}=\frac{a-2019}{b-2020}=\frac{a+2019+a-2019}{b+2020+b-2020}=\frac{\left(a+2019\right)-\left(a-2019\right)}{\left(b+2020\right)-\left(b-2020\right)}=\frac{a}{b}=\frac{2019}{2020}\left(a,b\ne0\right)\left(đpcm\right)\)

Bài 1) 

Ta có : A + B + C + D = 360 độ

=> A + B = 140 độ

Ta có :

A = \(\frac{140+40}{2}\)= 90 độ

=> B = 90 - 40 = 50 độ

Bài 1 :

Ta có : \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}+120^o+100^o=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}+220^o=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}=140^o\)

Mà : \(\widehat{A}-\widehat{B}=40^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{A}+\widehat{B}-\widehat{B}=140^o+40^o\)

\(\Rightarrow2\widehat{A}=180^o\Leftrightarrow\widehat{A}=90^o\)

\(\Leftrightarrow\widehat{B}=140^o-\widehat{A}=140^o-90^o=50^o\)

\(KL:\widehat{A}=90^o;\widehat{B}=50^o\)

a) Gọi H là giao điểm của DM và AC

Xét tam giác ADM có: AD=AM ( giả thiết)

=> Tam giác ADM cân tại A  và có AH là đường cao

=> AH là đường trung tuyến của tam giác ADM

=> H là trung điểm DM

=> tam giác CDM có CH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến 

=> Tam giác DCM cân tại D

=> CD=CM

b) Xét tam giác ADC và tam giác AMC có:

CD=CM ( chứng minh trên)

AC chung

AD=AM ( giả thiết)

=> Tam giác ADC = tam giác AMC

=> \(\widehat{ADC}=\widehat{AMC}\)

mà \(\widehat{AMC}+\widehat{CMB}=180^o\)

=> \(\widehat{ADC}+\widehat{CMB}=180^o\) (1)

Xét tứ giác ABCD có góc A+góc C=180^o

=> \(\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=180^o\)(2)

Từ (1); (2) 

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{CMB}\Rightarrow\widehat{CBM}=\widehat{CMB}\)

=> Tam giác BCM cân tại C

=> CM =CB

mà theo câu a : CD=CM

=> CB=CD

=> Tam giác DCB cân tại C có K là trung điểm BD

=> CK vuông góc BD (3)

Mặt khác xét tam giác EBD đều có K là trung điểm BD

=> EK vuông góc với BD (4)

Từ (3), (4) 

=> E, K, C thẳng hàng  

Ta có: (a²+b²)(x²+y²)=(ax+by)²

\(\Leftrightarrow\)a²x²+a²y²+b²x²+b²y²=a²x²+2abxy+b²y²

\(\Leftrightarrow\)a²y²-2abxy+b²x²=0

\(\Leftrightarrow\)(ay-bx)²=0

\(\Leftrightarrow\)ay=bx

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{x}\)=\(\frac{b}{y}\)

#)Giải :

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(ax+by\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=a^2x^2+2abxy+b^2y^2\)

\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2=2abxy\)

\(\Rightarrow a^2y^2+b^2x^2-2abxy=0\)

\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2=0\)

\(\Rightarrow ay-bx=0\)

\(\Rightarrow ay=bx\)

\(\Rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)(theo tính chất tỉ lệ thức) 

\(\Rightarrowđpcm\)

\(A=-5x^2-3x+123\)

\(=-5\left(x+\frac{3}{10}\right)+\frac{2469}{20}\le\frac{2469}{20}\)

\(\text{Dấu ''='' xảy ra khi }x+\frac{3}{10}=0\Rightarrow x=-\frac{3}{10}\)

Ta có: 4x²-28x+51

=(2x)²-2.2x.7+7²+2

=(2x-7)²+2

Ta dễ thấy được rằng (2x-7)²  luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của x

Do vậy nên (2x-7)²+2 luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của x

Do đó 4x²-28x+51 luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của x

TA CÓ

4X² - 28X +51 bằng [(2X)² - 2.2X.7 - 7²] +2 = (2X-7)² + 2 >0 VỚI MỌI GIÁ TRỊ CỦA X

                                VẬY 4X² - 28X +51 >0 VỚI MỌI GIÁ TRỊ CỦA X

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau một cách nhanh nhất:

a, A=(6x-2)²+(2-5x)²+2.(6x-2)(2-5x)

\(=\left(6x-2\right)^2+2\left(6x-2\right)\left(2-5x\right)+\left(2-5x\right)^2\)

\(\text{(Hằng đẳng thức số 2)}\)

\(=\left(6x-2+2-5x\right)\)

\(=x\)

\(B=\left(2a^2+2a+1\right)\left(2a^2-2a+1\right)-\left(2a^2+1\right)^2\)

\(=\left(2a^2+1+2a\right)\left(2a^2+1-2a\right)-\left(2a^2+1\right)^2\)

\(=\left(2a^2+1\right)^2-4a^2-\left(2a^2+1\right)^2\)

\(=-4a^2\)

\(a.x\left(x+2\right)+2x-6=0\)

\(=>x\left(2+xXx\right)-2\left(x-3+4x\right)=0\)

\(=>\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0^2\)

\(=>x-2=0,x+3=0,x=2,x=3\)

\(1,\left(x+2\right)\left(3x-4\right)+\left(x-3\right)^2\)

\(=3x^2-4x+6x-8+x^2-6x+9\)

\(=4x^2-4x+1\)

\(=\left(2x-1\right)^2\)

#)Giải :

\(\frac{x^3}{8}+\frac{x^2y}{4}+\frac{xy^2}{6}+\frac{y^3}{27}\)

\(=\left(\frac{x}{2}\right)^3+3.\left(\frac{x}{2}\right)^2.\frac{y}{3}+3.\frac{x}{2}.\left(\frac{x}{3}\right)^2+\left(\frac{y}{3}\right)^3\)

\(=\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}\right)^3\)

\(2x^2+y^2+2xy-4x+9=\left(x^2-4x+4\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)+5\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(x-4\right)^2+5\ge5\)

Suy ra dieu phai cm

\(2x^2+y^2+2xy-4x+9\)

\(=x^2+2xy+y^2+x^2-4x+4+5\)

\(=\left(x+y\right)^2+x^2-2.2.x+4+5\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(x-2\right)^2+5\)

\(\left(x+y\right)^2>0;\left(x-2\right)^2>0;5>0\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(x-2\right)^2+5>0\)

\(\Rightarrow2x^2+y^2+2xy-4x+9>0\)