a, Chứng minh \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y\right)^3-3xy.\left(x+y\right)+z^3\)

Biến đổi vế phải thì ta phải suy ra điều phải chứng minh 

b, Ta có: \(a+b+c=0\)thì 

\(a^3+b^3+c^3==\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3=-c^3-3ab\left(-c\right)+c^3=3abc\)

  ( Vì \(a+b+c=0\)nên \(a+b=-c\))

Theo giả thuyết \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)

Khi đó \(A=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)

\(=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}\)

\(=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)\)

\(=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)

Theo bài ra ta có:

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2axby+b^2y^2\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\left(true\right)\)

cậu có saii đề không ạ ? Mình nghĩ là bình phương chứ?

thêm bình phương nữa bạn

\(10^6-5^7⋮53\)

=\(\left(2\cdot5\right)^6-5^7\)

=\(2^6\cdot5^6-5^7\)

=\(5^6\cdot\left(2^6-5\right)=5^6\cdot59⋮59\)

\(-x^2-4x\)

\(=-\left(x^2+4x+4\right)+4\)

\(=-\left(x+2\right)^2+4\le4\forall x\)

Dấu"=" xảy ra<=> \(-\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow x=-2\)

\(\text{Ta có: }-x^2-4x\)

\(=-x^2-4x-4+4\)

\(=-\left(x^2+4x+4\right)+4\)

\(=-\left(x+2\right)^2+4\)

\(\text{Vì }-\left(x+2\right)^2\le0\)

\(\text{nên }-\left(x+2\right)^2+4\le4\)

\(\text{Vậy GTLN = 4, dấu bằng xảy ra khi x = -2}\)