\(D=a\left(b^2+c^2+bc\right)+b\left(a^2+c^2+ac\right)+c\left(a^2+b^2+ab\right)\)

\(D=ab^2+ac^2+abc+a^2b+bc^2+abc+a^2c+b^2c+abc\)

\(D=3abc+abc\left(b+c+a+c+a+b\right)\)

\(D=4abc\left(2a+2b+2c\right)\)

thùy trốc to

a) Ta có: A = x³ + y³ + 3xy = (x + y)(x² - xy + y²) + 3xy = 1. (x² - xy + y²) + 3xy = x² - xy + y² + 3xy = x² + 2xy + y² = (x + y)² = 1² = 1

b)Ta có: B = x³ - y³ - 3xy = (x - y)(x² + xy + y²) - 3xy = 1. (x² + xy + y²) - 3xy = x² + xy + y² - 3xy = x² - 2xy + y² = (x - y)² = 1² = 1

d) Ta có : D = x³ + y³ + 3xy(x² + y²) + 6x²y²(x + y)

=> D = (x + y)(x² - xy + y²) + 3xy(x² + 2xy + y²) -  6x²y² + 6x²y²

=> D = x² - xy + y² + 3xy(x + y)² 

=> D = x² - xy + y² + 3xy.1²

=> D = x² + 2xy + y²

=> D = (x + y)² = 1² = 1

a) \(A=x^3+y^3+3xy\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+3xy\)

\(=x^2-xy+y^2+3xy=x^2+2xy+y^2\)

\(=\left(x+y\right)^2=1^2=1\)

b) \(B=x^3-y^3-3xy\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)-3xy\)

\(=x^2+xy+y^2-3xy=x^2-2xy+y^2\)

\(=\left(x-y\right)^2=1^2=1\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có :

+ ) \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b^2}.\frac{b^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\left(1\right)\)

Cmt ta có : \(\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2b}{a}\left(2\right)\)

+ ) \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{2c}{b}\left(3\right)\)

Cộng vế với vế của các BĐT \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) ta được :

\(2\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

a, \(x^2+y^2-2x+10y+26=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2+10y+25\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+5\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\y+5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-5\end{cases}}\)

b,\(4x^2+2y^2+2xy-2y+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2+4xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2+\left(y-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+y=0\\y-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x+1=0\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=1\end{cases}}\)

c,\(5x^2+9y^2-12xy+4x+4=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+4x+4\right)+\left(4x^2-12xy+9y^2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right)^2+\left(2x-3y\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+2=0\\2x-3y=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\2.\left(-2\right)-3y=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=-\frac{4}{3}\end{cases}}\)

d,\(5x^2+9y^2-6xy-4x+1=0\)

\(\Rightarrow\left(4x^2-4x+1\right)+\left(x^2-6xy+9y^x\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^2+\left(x-3y\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x+1=0\\x-3y=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}-3y=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=-\frac{1}{6}\end{cases}}\)

\(A=x^2+2x+1-y^2\)

\(A=\left(x^2+2x+1\right)-y^2\)

\(A=\left(x+1\right)^2-y^2\)

\(A=\left(x+1-y\right).\left(x+1+y\right)\)

Thay \(x=94,5\) và \(y=49,75\) vào biểu thức A ta được :

\(A=\left(94,5+1-49,75\right).\left(94,5+1+49,75\right)\)

\(A=45,75.145,25\)

\(A=6645,1875\)

Vậy giá trị của biểu thức A tại \(x=94,5\) và \(y=49,75\) là \(6645,1875\)

 Chúc bạn học tốt !!!

Đặt \(A=999...98000...01\)

\(A=10...0-199...9\) ( n chữ số 9 , \(2n+1\) chữ số 0 )

\(A=\left(10...0\right)^2-\left(10...0-9...9\right).\left(10...0+9...9\right)\) ( n chữ số 0 , n-1 chũ số 9 )
\(A=\left(10...0\right)^2-\left[\left(10...0\right)^2-\left(9...9\right)^2\right]\)

\(A=\left(9...9\right)^2\)

\(\Rightarrow A\) là bình phương của một số ( đpcm )

Chúc bạn học tốt !!!

Chứng minh : 999...98000...01 là có n chữ số 0 và n chữ số 9 là bình phương 1 số

999...98000...01 ( gồm n chữ số 0 và 9  )

= 999...99000..000 ( gồm n chữ số 9 và n + 2 chữ số 0 ) + 800...000 ( n +1 chữ số 0 ) +1

= 1000...000 ( 2n + 2  chữ số 0 ) - 1000... 000 ( n+2 ) chữ số 0 +  800...000 ( n +1 chữ số 0 ) +1

= 1000...000 ( 2n + 2  chữ số 0 ) - 200...000 ( n +1 chữ số 0 ) +1

= \(10^{2n+2}-2.10^{n+1}+1\)

= \(\left(10^{n+1}-1\right)^2\)

Vậy :.... 

a)x²-2x+m= (x-1)²+m-1 \(\ge m-1\) Min =2 => m-1 = 2 <=> m = 3

b) = 4x²-2x+6x+m= 4x²+4x+m = (2x+1)²+m-1 \(\ge m-1\) Min=1998 <=> m-1 = 1998 <=> m = 1999

1) đặt 2x+1 = a => \(a^4-3a^2+2=\left(a^2-1\right)\left(a^2-2\right)=\)\(\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-\sqrt{2}\right)\left(a+\sqrt{2}\right)\)

=(2x+1-1)(2x+1+1)(2x+1-\(\sqrt{2}\))(2x+1+\(\sqrt{2}\)) = 4x(x+1)(2x+1-\(\sqrt{2}\))(2x+1+\(\sqrt{2}\))

2) =(x²-x)(x²-x-2)-3

đặt x²-x = b => b(b-2)-3 = b²-2b-3 = (b+1)(b-3) = (x²-x+1)(x²-x-3)

3) đặt x²+2x-1 = c => c²-3xc+2x² = (c-x)(c-2x) = (x²+2x-1-x)(x²+2x-1-2x) = (x²+x-1)(x²-1) = (x²+x-1)(x-1)(x+1)

tìm x

x³-8 +(x-2)(x+1)=0 <=> (x-2)(x²+2x+4)+(x-2)(x+1)=0 <=>(x-2)(x²+2x+4+x+1)=0 <=> x=2 (vì x²+3x+5= (x+\(\frac{3}{2}\))² +\(\frac{11}{4}\)>0)

vậy x=2 

2) \(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)-3\)

\(=\left(x^2-x\right)\left(x^2-x-2\right)-3\)(1)

Đặt \(x^2-x=t\)

\(\Rightarrow\left(1\right)=t\left(t-2\right)-3=t^2-2t+1-4\)

\(=\left(t-1\right)^2-4\)

\(=\left(t+3\right)\left(t-5\right)\)

Thay \(x^2-x=t\), ta được:

\(BTDNT=\left(x^2-x+3\right)\left(x^2-x-5\right)\)

TH1: y = 0

\(x^2+3^0=3026\)

=> \(x^2=3025\)

=> \(x=\pm55\)

TH2: \(y\ge1\)

Có: \(x^2=3026-3^y\) 

+) \(VP=3026-3^y=2+3024-3^y\)chia 3 dư 2 (1) 

+) \(VT=x^2\)chia 3 dư 0 hoặc 1

x = 3k  => \(x^2\)chia hết cho 3 nghĩa là chia 3 dư 0

x = 3k + 1 => \(x^2=9k^2+6k+1\) chia 3 dư 1

\(x=3k+2\Rightarrow x^2=9k^2+12k+4=9k^2+12k+3+1\) chia 3 dư 1

Vậy  \(VT=x^2\)chia 3 dư 0 hoặc 1 (2)

Từ (1) , (2) => \(VT\ne VP\)

=> \(y\ge1\)loại

Vậy y = 0 và \(x=\pm55\).

với y =0 =>x²+1=3026 <=> x=55

với y\(\ge1\) thì 3016 \(⋮̸\)3 mà 3^y \(⋮3\)nên x²\(⋮̸\)3 nên có dạng x=3k+1 hoặc x=3k+2  (k\(\in N\))

xét x=3k+1 => (3k+1)²+3^y=301=26 <=> 9k²+6k+1+3^y=3016 <=> 9k²+6k+3^y=3025

9k²+6k+3^y\(⋮\)3 mà 3015\(⋮̸\)3 nên phương trình vô nghiệm

tương tự x=3k+2 ta cũng có pt vo nghiệm

vậy x=55;y=1 là nghiệm duy nhất

Đặt f(x) =2x3 -3x2+x+a

Để f(x) chia hết cho x+2 <=> f(-2)=0

<=> 2 .(-2)^3 -3.(-2)^2 +(-2)+a=0

<=> a=30

Bài làm

Ta có: 2x³ - 3x² + x + a : x + 2

2x - 3x + x + a 3 2 x + 2 2x - 7x+15 2 2x + 4x 3 2 -7x + x + a 2 -7x - 14x 2 15x + a 15x + 30 a + 30

Để 2x³ - 3x² + x + a chia hết x + 2

Thì a + 30 = 0

=> a = 0 - 30

=> a = -30

Vậy a = -30
# Học tốt #