Xét Δ ADM và Δ BNC ta có :

Góc A = Góc B = 90^o (ABCD là HCN)

AD=BC (ABCD là HCN)

AM=BN (đề bài)

⇒ Δ ADM và Δ BNC (cạnh, góc, cạnh)

⇒ Góc ADM = Góc BCN

mà Góc ADM + Góc MDC =90^o

      Góc BCN + Góc NCD =90^o

⇒ Góc MDC = Góc NCD

mà MN song song CD (AB song song CD)

⇒ MNCD là hình thang cân

a) Gọi \(\widehat{ADB}=\widehat{D_1;}\widehat{CDB}=\widehat{D_2}\)

Xét Δ vuông BDC ta có :

\(\)\(\widehat{D_2}+\widehat{C}=90^o\)

mà \(\widehat{D_2}=\dfrac{\widehat{D}}{2}\) (DB là phân giác \(\widehat{ADC}\))

     \(\widehat{C}=\widehat{D}\) (ABCD là hình thang cân)

\(\Rightarrow\dfrac{\widehat{D}}{2}+\widehat{D}=90^o\)

\(\Rightarrow\dfrac{\widehat{3D}}{2}=90^o\Rightarrow\widehat{D}=60^o\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{D}=60^o\)

Ta lại có : \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{A}=\widehat{B}\\\widehat{C}=\widehat{D}\end{matrix}\right.\) (ABCD là hình thang cân)

\(\Rightarrow2\widehat{A}+2\widehat{C}=360^o\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\dfrac{360^o-2\widehat{C}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\dfrac{360^o-2.60^o}{2}=120^o\)

b) \(BC=AD=6\left(cm\right)\) (ABCD là hình thang cân)

Xét Δ vuông BDC ta có :

\(Cos60^o=\dfrac{BC}{DC}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow DC=2BC=2.6=12\left(cm\right)\)

\(DC^2=BD^2+BC^2\left(Pitago\right)\)

\(\Rightarrow BD^2=DC^2-BC^2=12^2-6^2=144-36=108=3.36\)

\(\Rightarrow BD=6\sqrt[]{3}\left(cm\right)\)

Kẻ đường cao AH và BE vuông góc DC tại H và E

Ta có : \(BE.CD=BD.BC\Rightarrow BE=\dfrac{CD}{BD.BC}=\dfrac{12}{6.6\sqrt[]{3}}=\dfrac{1}{3\sqrt[]{3}}\left(cm\right)\)

Xét Δ BEC ta có :

\(BC^2=BE^2+EC^2\Rightarrow EC^2=BC^2-BE^2=36-\dfrac{1}{27}\)

\(\Rightarrow EC^2=\dfrac{971}{27}\Rightarrow EC=\dfrac{1}{3}.\sqrt[]{\dfrac{971}{3}}\left(cm\right)\)

ABHE là hình chữ nhật (AB \(//\) HE;AH \(//\) BE vì cùng vuông với CD; Góc H=90^o )

\(\Rightarrow AB=HE=CD-2EC=12-\dfrac{2}{3}.\sqrt[]{\dfrac{971}{3}}\left(cm\right)\) (tính chất hình thang cân)

Chu vi hình thang cân ABCD :

\(2BC+DC+AB=2.6+12+12-\dfrac{1}{3}.\sqrt[]{\dfrac{971}{3}}=36-\dfrac{1}{3}.\sqrt[]{\dfrac{971}{3}}\left(cm\right)\)

Ta có

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=x^2+y^2+z^2\) (1)

Ta có

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{x+y+z}{a+b+c}=x+y+z\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\) (2)

Từ (1) và (2)

\(x^2+y^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)

Em cần làm gì với các đa thức này vậy em

1) \(...=20x^3-10x^2+5x-20x^3+10x^2+4x\)

\(=9x=9.\left(-15\right)=-135\left(x=-15\right)\)

9\(x^2\) - 1

= (3\(x\) - 1)(3\(x\) + 1)

a, A = 100² - 99² + 98² - 97² +...+ 2² - 1²

    A = (100² - 99²) + (98² - 97²) +...+ (2² - 1)²

    A = (100 - 99)(100+99) + (98-97)(98+97)+..+(2-1)(2+1)

    A = 1.199 + 1.195 + 1.191 +...+1.3

    A = 3 + ...+191+ 195 + 199

    Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 199 -195=4

     Dãy số trên có số hạng là: (199 - 3): 4 + 1 = 50 (số )

        A = (199 +3) \(\times\) 50 : 2 = 5050 

Gọi K là giao của AI với MN

Áp dụng talet trong tam giác

\(\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{NK}{CI}\Rightarrow\dfrac{MK}{NK}=\dfrac{BI}{CI}=1\)

=> MK = NK

b) \(\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-x\left(x-3\right)\left(x+3\right)=8\)

\(\Rightarrow x^3-1-x\left(x^2-9\right)=8\)

\(\Rightarrow x^3-1-x^3+9x=8\)

\(\Rightarrow9x=9\Rightarrow x=1\)

c) \(\left(x^2+2\right)\left(x-4\right)-\left(x+2\right)\left(x^2+4x+4\right)=-16\)

\(\Rightarrow x^3-4x^2+2x-8-\left(x+2\right)\left(x+2\right)^2=-16\)

\(\Rightarrow x^3-4x^2+2x-8-\left(x+2\right)^3=-16\)

\(\Rightarrow x^3-4x^2+2x-8-\left(x^3+6x^2+12x+8\right)=-16\)

\(\Rightarrow x^3-4x^2+2x-8-x^3-6x^2-12x-8=-16\)

\(\Rightarrow-10x^2-10x-16=-16\)

\(\Rightarrow10x^2+10x=0\)

\(\Rightarrow10x\left(x+1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE=AB .

Xét $\Delta ABC$và $\Delta AEC$có :

$AB=AE$(GT)

${\hat{A}}_1={\hat{A}}_2$(vì AC là tia phân giác góc BAD )

$AC:$Cạnh chung

Do đó : tam giác ABC = tam giác AEC (c-g-c)

$\Rightarrow BC=CE$( cặp cạnh tương ứng ) (1)

     ${\hat{B}}_1={\hat{E}}_1$( cặp góc tương ứng )

Vì tứ giác ABCD có :

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{C}={360}^o$( tính chất tứ giác lồi )

Mà $\hat{A}+\hat{C}={180}^o$( GT)

$\Rightarrow \hat{B}+\hat{D}={180}^o$

Mà ${\hat{B}}_1={\hat{E}}_1$

${\hat{E}}_2+{\hat{E}}_1={180}^o$

$\Rightarrow {\hat{E}}_2=\hat{D}$

$\Rightarrow \Delta CDE$cân tại C .

$\Rightarrow DC=CE$(2)

Từ (1) và (2)

$\text{hept}\{\begin{array}{c}BC=CE\\ DC=CE\end{array}$

$\Rightarrow DC=BC\left(dpcm\right)$