Đề cho x y z tự dưng nhảy sang a,b,c là sao :)))

 x^5+y^5≥x^2.y^2(x+y)

x^5+y^5≥x^2.y^2(x+y)

ta có: x^5+y^5=(x+y)(x^4−x^3y+x^2y^2−x.y^3+y^4)=(x+y)((x−y)^2(x^2−xy+y^2)+x^2y^2)x^5+y^5=(x+y)(x^4−x^3y+x^2y^2−xy^3+y^4)=(x+y)((x−y)^2(x^2−xy+y^2)+x^2y^2). Vì (x−y)^2(x2−xy+y2)≥0(x−y)2(x^2−xy+y^2)≥0 nên ((x−y)^2(x^2−xy+y^2)+x^2y^2)≥x^2y^2((x−y)2(x2−xy+y2)+x2y2)≥x2y2 nên ta có đpcm.

trở lại bài toán:

aba5+b5+ab≤aba2b2(a+b)+ab=1ab(a+b)+1=cabc(a+b)+c=ca+b+caba5+b5+ab≤aba2b2(a+b)+ab=1ab(a+b)+1=cabc(a+b)+c=ca+b+c

Tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng lại được đpcm. 

x+y5≥x2.y2(x+y)x5+y5≥x2.y2(x+y)

thật vậy, ta có: x5+y5=(x+y)(x4−x3y+x2y2−xy3+y4)=(x+y)((x−y)2(x2−xy+y2)+x2y2)x5+y5=(x+y)(x4−x3y+x2y2−xy3+y4)=(x+y)((x−y)2(x2−xy+y2)+x2y2). Vì (x−y)2(x2−xy+y2)≥0(x−y)2(x2−xy+y2)≥0 nên ((x−y)2(x2−xy+y2)+x2y2)≥x2y2((x−y)2(x2−xy+y2)+x2y2)≥x2y2 nên ta có đpcm.

trở lại bài toán:

aba5+b5+ab≤aba2b2(a+b)+ab=1ab(a+b)+1=cabc(a+b)+c=ca+b+caba5+b5+ab≤aba2b2(a+b)+ab=1ab(a+b)+1=cabc(a+b)+c=ca+b+c

Tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng lại được đpcm.

\(\hept{\begin{cases}2x+2y=10-2xy\\x^2+y^2=5\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-10+2xy=5-2\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y\right)-10=5-2\left(x+y\right)\)

\(\text{Đặt: x+y=a}\)

\(a^2-10=5-2a\Rightarrow a^2-10-5+2a=0\Rightarrow a^2+2a-15=0\)

\(\)\(\Leftrightarrow a^2+2a+1=16\Leftrightarrow a+1=\pm4\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-5\\a=3\end{cases}}\)

\(+,a=-5\Rightarrow x+y=-5\)

\(\Rightarrow xy=10\Rightarrow x^2+y^2+10-2xy=0\Rightarrow\left(x-y\right)^2=-10\left(\text{loại}\right)\)

\(+,a=3\Rightarrow x+y=3\Rightarrow xy=2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+10-2xy=11\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-y\right)=1\Rightarrow x-y=\pm1\)

\(\text{Giả sử: x ít nhất bằng y}\)

\(\Rightarrow x-y=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)

\(y\ge x\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\x=1\end{cases}}\)

đến đây thì ez rồi

a ở trước dấu (,) 

Không mất tính tổng quát, giả sử: \(x\ge y\ge z\). Khi đó:

\(5=x+y+z\le3x\le6\Rightarrow\frac{5}{3}\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)(*)

Mặt khác, vì \(0\le y,z\le2\)nên \(\left(y-2\right)\left(z-2\right)\ge0\Leftrightarrow yz\ge2\left(y+z\right)-4\)

\(\Leftrightarrow yz\ge2\left(5-x\right)-4=6-2x\)

Do đó: \(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{x}+\sqrt{y+z+2\sqrt{yz}}\)

\(\ge\sqrt{x}+\sqrt{5-x+2\sqrt{6-2x}}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x+2\sqrt{2}.\sqrt{3-x}+2}\)

\(=\sqrt{x}+\sqrt{\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\)

Ta có: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\right)^2=x+2\sqrt{x\left(3-x\right)}+3-x=3+2\sqrt{3x-x^2}\)

\(=3+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(2-x\right)+2}\ge3+2\sqrt{2}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)(theo (*))

Do đó \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ge1+\sqrt{2}\)

Vậy \(A\ge2\sqrt{2}+1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}0\le x,y,z\le2;x+y+z=5\\\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0\\yz=6-2x\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2;z=1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2\sqrt{2}+1\), đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2,2,1\right)\)và các hoán vị.

•๖ۣۜIηεqυαℓĭтĭεʂ•ッᶦᵈᵒᶫ ngu mak đòi lm solo toán ko :PP

Bài này à

Gọi thương của phép chia là a thì ta có:

\(x^3+y^3+z^3=a\left(xyz\right)^2\)

Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(x\ge y\ge z\)

Dễ thấy \(y^3+z^3⋮x^2\)

\(\Rightarrow y^3+z^3\ge x^2\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(3x^3\ge x^3+y^3+z^3=a\left(xyz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3x\ge a\left(yz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow9x^2\ge a^2y^4z^4\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra

\(18y^3\ge9\left(y^3+z^3\right)\ge a^2y^4z^4\)

\(\Leftrightarrow z^5\le a^2yz^4\le18\)

\(\Leftrightarrow0< z\le1\)

\(\Leftrightarrow z=1\)

\(\Rightarrow a^2\le a^2y\le18\)

\(\Leftrightarrow1\le a\le4\)

Tự nhiên làm biếng quá thôi còn lại tự làm nốt nha bé.

dùng định lí nhỏ phecma c/m bổ đề

Ta có:\(p^{2016}-1=\left(p^4\right)^{504}-1^{504}=\left(p^4-1\right)\cdot M=\left[\left(p^2\right)^2-1^2\right]\cdot M=\left(p^2-1\right)\left(p^2+1\right)\cdot M\)

\(=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p^2+1\right)\cdot M\)

Do p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p lẻ.

\(\Rightarrow\) p-1 và p+1 chẵn

\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮4\)

Lại có: \(\left(p-1\right)p\left(p+1\right)⋮3\) mà p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\)

Do \(\left(3,4\right)=1\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮12\)

Do p không chia hết cho 5 nên p có các dạng:\(5k\pm1;5k\pm2\)

Nếu \(p=5k\pm1\Rightarrow p^2=25k\pm10+1=5m+1\)

Nếu \(p=5k\pm2\Rightarrow p^2=25k\pm20k+4=5n-1\)

\(\Rightarrow p^4\) chia 5 dư 1

\(\Rightarrow p^4-1⋮5\)

Do \(\left(5,12\right)=1\Rightarrow\left(p^4-1\right)\cdot M⋮60^{đpcm}\)