Phân tích nhân tử ra được \(\left(x^2-x-3\right)\left(2x^2+7x-6\right)=0\)

Giải 2 pt này ra có 4 nghiệm 

\(x\in\left\{\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{13}}{2};-\frac{7}{4}\pm\frac{\sqrt{97}}{4}\right\}\)

a)\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow0\le2a^2-a^2+2b^2-b^2-2ab\)

\(\Leftrightarrow0\le a^2-2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

=> Đúng

b) \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\le3a^2+3b^2+3c^2\)

\(\Leftrightarrow0\le3a^2-a^2+3b^2-b^2+3c^2-c^2-2ab-2bc-2ac\)

\(\Leftrightarrow0\le2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\)

\(\Leftrightarrow0\le\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

=> Đúng

a,Ta có : \(\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)

Do : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)nên  \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\). 

b, Xét : \(\left(a+b+c\right)^2+\left(a-b\right)^2-\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\) . Khai triển và rút gọn, ta được :

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) . Vậy : \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(2M=\left(a+b-2\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+2.1998\ge2.1998\Rightarrow M\ge1998\)

Dấu \("="\) xảy ra khi đồng thời : \(\hept{\begin{cases}a+b-2=0\\a-1=0\\b-1=0\end{cases}}\)         Vậy  min \(M=1998\Rightarrow a=b=1\)

Gọi số thứ 1 là x thì số thứ 2 là \(18-x\)

Ta có: \(\left(x+2\right)\left(18-x+2\right)=1,5x\left(18-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(20-x\right)=27x-1,5x^2\)

\(\Leftrightarrow-x^2+18x+40=27x-1,5x^2\)

\(\Leftrightarrow0,5x^2-9x+40=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-18x+80=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-8\right)\left(x-10\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=8\\x=10\end{cases}}\)

Vậy số thứ 1 là 8 và số thứ 2 là: 18 - 8 = 10

hoặc số thứ 1 là 10 và số thứ 2 là: 18 - 10 = 8

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2019 số dương \(x^{2019};x^{2019};1;1;1;...;1\) (2017 số 1)

\(x^{2019}+x^{2019}+1+1+1+...+1\ge2019\sqrt[2019]{x^{2019}.x^{2019}.1.1.1.....1}=2019x^2\)

\(\Leftrightarrow2x^{2019}+2017\ge2019x^2\)(1)

Dấu "=" xảy ra khi \(x^{2015}=1\Leftrightarrow x=1\)

Tương tự: \(2y^{2019}+2017\ge2019y^2\left(2\right),2z^2+2019\ge2019z^2\left(3\right)\)

Do đó từ (1), (2) và (3) được:  \(2\left(x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}\right)+6051\ge2019\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2.3+6051\ge2019\left(x^2+y^2+z^2\right)\Leftrightarrow2019\left(x^2+y^2+z^2\right)\le6057\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le3\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy GTLN của E là 3 khi x = y = z = 1

\(\left(m+1\right)x^2-2\left(m-1\right)x+m-3=0\) (1)

a) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m+1\right)\left(m-3\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-2m+1\right)-\left(m^2-2m-3\right)>0\) 

\(\Leftrightarrow4>0\)(luôn đúng)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Để t nghĩ tí

ý b kìa ý a mình biết rồi

\(\hept{\begin{cases}y^2\sqrt{2x-1}+\sqrt{3}=5y^2-\sqrt{6x-3}\left(1\right)\\2y^4\left(5x^2-17x+6\right)=6-15x\left(2\right)\end{cases}}\)

\(ĐKXĐ:x\ge\frac{1}{2}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow2y^4\left(5x-2\right)\left(x-3\right)=3\left(2-5x\right)\)\(\Leftrightarrow\left(5x-2\right)\left[2y^4\left(x-3\right)+3\right]=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{2}{5}\left(KTMĐK\right)\\2y^4\left(x-3\right)+3=0\end{cases}}\)

Với \(2y^4\left(x-3\right)+3=0\)thì ta được \(y^4=\frac{3}{6-2x}\Rightarrow y^2=\sqrt{\frac{3}{6-2x}}\)(3)

Thay vào (1), ta được \(\sqrt{\frac{3}{6-2x}}.\sqrt{2x-1}+\sqrt{3}=5\sqrt{\frac{3}{6-2x}}-\sqrt{6x-3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{6x-3}+\sqrt{3\left(6-2x\right)}=5\sqrt{3}-\sqrt{\left(6x-3\right)\left(6-2x\right)}\)

Đặt \(u=\sqrt{6x-3};v=\sqrt{3\left(6-2x\right)}\left(u,v\ge0\right)\).Khi đó ta được hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}u^2+v^2=15\\u+v=5\sqrt{3}-\frac{uv}{\sqrt{3}}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}u^2+v^2=15\\\sqrt{3}\left(u+v\right)+uv=15\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3\left(u+v\right)^2=45+6uv\\\sqrt{3}\left(u+v\right)=15-uv\end{cases}}\)

Từ hệ trên suy ra được \(45+6uv=\left(15-uv\right)^2\Leftrightarrow\left(uv\right)^2-36uv+180=0\)

\(\Leftrightarrow\left(uv-6\right)\left(uv-30\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}uv=6\\uv=30\end{cases}}\)(\(uv\ge0\))

+) Với uv = 30 ta được: \(u+v=-5\sqrt{3}\)(loại)

+) Với uv = 6 ta được: \(u+v=3\sqrt{3}\)suy ra u, v là hai nghiệm của phương trình \(k^2-3\sqrt{3}k+6=0\)

Giải phương trình bậc hai trên ta thu được hai nghiệm \(2\sqrt{3}\)và \(\sqrt{3}\)

Suy ra \(u=2\sqrt{3};v=\sqrt{3}\)hoặc \(u=\sqrt{3};v=2\sqrt{3}\)

* Với \(u=2\sqrt{3};v=\sqrt{3}\)thì \(\hept{\begin{cases}\sqrt{6x-3}=2\sqrt{3}\\\sqrt{3\left(6-2x\right)}=\sqrt{3}\end{cases}}\Rightarrow x=\frac{5}{2}\)

* Với \(u=\sqrt{3};v=2\sqrt{3}\)thì \(\hept{\begin{cases}\sqrt{6x-3}=\sqrt{3}\\\sqrt{3\left(6-2x\right)}=2\sqrt{3}\end{cases}}\Rightarrow x=1\)

+) Thay \(x=\frac{5}{2}\)vào (3) tìm được \(y=\pm\sqrt[4]{3}\)

+) Thay x = 1 vào (3) tìm được \(y=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm (x;y) là \(\left\{\left(1;\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right);\left(1;-\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right);\left(\frac{5}{2};\sqrt[4]{3}\right);\left(\frac{5}{2};-\sqrt[4]{3}\right)\right\}\)

ĐKXĐ: \(x\ge\frac{1}{2}\)biến đổi phương trình thứ hai ta được

\(2y^4\left(5x-2\right)\left(x-3\right)=3\left(2-5x\right)\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{2}{5}\left(loai\right)\\2xy^4+3=6y^4\end{cases}}\)

Ta đưa về hệ về pt \(\hept{\begin{cases}y^2\sqrt{2x-1}+\sqrt{3}\cdot\sqrt{2x-1}=5y^2-\sqrt{3}\\2xy^4+3=6y^4\end{cases}}\)

Nhận thấy y=0 không là nghiệm của hệ pt nên chia cả 2 vế của pt thứ nhất cho y² và pt thứ hai cho y⁴ có:

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2x-1}+\frac{\sqrt{3}}{y^2}\sqrt{2x-1}=5-\frac{\sqrt{3}}{y^2}\\2x-1+\frac{3}{y^4}=5\end{cases}}\)

Đặt \(a=\sqrt{2x-1};b=\frac{\sqrt{3}}{y^2}\left(a\ge0;b\ge0\right)\)

Ta có hệ pt \(\hept{\begin{cases}a+ab+b=5\\a^2+b^2=5\end{cases}}\)

Ta được \(a=\frac{5-b}{1+b}\)thay vào phương trình thứ hai ta có:

\(\left(\frac{5-b}{1+b}\right)^2+b^2=5\Leftrightarrow b^4+2b^3-3b^2-20b+20=0\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(b^2+5b+10\right)=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}}\)

Với \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\y=\pm\sqrt[4]{3}\end{cases}}}\)

Với \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=\pm\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}\end{cases}}}\)

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(\frac{5}{2};\pm\sqrt[4]{3}\right);\left(1;\pm\frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{2}}\right)\right\}\)