\(\left(\dfrac{5}{12}.24\right)^2+24^2=\left(5.2\right)^2+24^2=10^2+24^2=100+576=676\)

\(P=\dfrac{3\left(x^2+1\right)}{3\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{2\left(x^2-x+1\right)+x^2+2x+1}{3\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{\left(x+1\right)^2}{3\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}}\ge\dfrac{2}{3}\)

\(P=\dfrac{2\left(x^2-x+1\right)-x^2+2x-1}{x^2-x+1}=2-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\le2\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{3}\le P\le2\)

Mà P nguyên \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}P=1\\P=2\end{matrix}\right.\)

- Với \(P=1\Rightarrow\dfrac{x^2+1}{x^2-x+1}=1\Rightarrow x^2+1=x^2-x+1\)

\(\Rightarrow x=0\)

- Với \(P=2\Rightarrow\dfrac{x^2+1}{x^2-x+1}=2\Rightarrow x^2+x=2\left(x^2-x+1\right)\)

\(\Rightarrow x^2-2x+1=0\Rightarrow x=1\)

Vậy \(x=\left\{0;1\right\}\)

1: \(\dfrac{DM}{DE}=\dfrac{2}{5}\)

\(\dfrac{DN}{DF}=\dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5}\)

Do đó: \(\dfrac{DM}{DE}=\dfrac{DN}{DF}\)

2: Xét ΔDEF có \(\dfrac{DM}{DE}=\dfrac{DN}{DF}\)

nên MN//EF

Xét ΔHAB vuông tại H và ΔEAH vuông tại E có

\(\widehat{HAB}\) chung

Do đó: ΔHAB~ΔEAH

=>\(\dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AB}{AH}\)

=>\(AH^2=AE\cdot AB\left(1\right)\)

Xét ΔAFH vuông tại F và ΔAHC vuông tại H có

\(\widehat{FAH}\) chung

Do đó: ΔAFH~ΔAHC

=>\(\dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\)

=>\(AH^2=AF\cdot AC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Xét ΔAEF vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

Do đó: ΔAEF~ΔACB

\(\dfrac{x-2}{27}+\dfrac{x-3}{26}+\dfrac{x-4}{25}+\dfrac{x-5}{24}+\dfrac{x-44}{5}=1\)

=>\(\left(\dfrac{x-2}{27}-1\right)+\left(\dfrac{x-3}{26}-1\right)+\left(\dfrac{x-4}{25}-1\right)+\left(\dfrac{x-5}{24}-1\right)+\dfrac{x-44}{5}+3=0\)

=>\(\dfrac{x-29}{27}+\dfrac{x-29}{26}+\dfrac{x-29}{25}+\dfrac{x-29}{24}+\dfrac{x-29}{5}=0\)

=>\(\left(x-29\right)\left(\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{26}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{5}\right)=0\)

=>x-29=0

=>x=29

Câu 4:

XétΔOAB có

M,N lần lượt là trung điểm cuả OA,OB

=>MN là đường trung bình của ΔOAB

=>\(MN=\dfrac{1}{2}AB\)

Xét ΔOBC có

N,P lần lượt là trung điểm của OB,OC

=>NP là đường trung bình của ΔOBC

=>\(NP=\dfrac{1}{2}BC\)

Xét ΔOAC có

M,P lần lượt là trung điểm của OA,OC

=>MP là đường trung bình của ΔOAC

=>\(MP=\dfrac{1}{2}AC\)

Xét ΔMNP và ΔABC có

\(\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{NP}{BC}=\dfrac{MP}{AC}=\dfrac{1}{2}\)

Do đó: ΔMNP~ΔABC

1: Xét tứ giác AIHK có \(\widehat{AIH}=\widehat{AKH}=\widehat{KAI}=90^0\)

nên AIHK là hình chữ nhật

2: Ta có: AIHK là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AIK}=\widehat{AHK}\)

mà \(\widehat{AHK}=\widehat{C}\left(=90^0-\widehat{HAC}\right)\)

nên \(\widehat{AIK}=\widehat{C}\)

Xét ΔAIK vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

\(\widehat{AIK}=\widehat{ACB}\)

Do đó: ΔAIK~ΔACB

3: Xét ΔABC có AH là đường cao

nên \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot4\cdot10=20\left(cm^2\right)\)

Ta có: AIHK là hình chữ nhật

=>AH=IK

=>IK=4(cm)

Ta có: ΔAKI~ΔABC

=>\(\dfrac{S_{AKI}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{KI}{BC}\right)^2\)

=>\(\dfrac{S_{AKI}}{20}=\left(\dfrac{4}{10}\right)^2=\dfrac{4}{25}\)

=>\(S_{AKI}=\dfrac{80}{25}=3,2\left(cm^2\right)\)