mnnnnnnn humm ! :s
Tìm x;y;z là các số nguyên tố biết: x^y +1=z
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
3A=3\(\sqrt[3]{ab}\)+3\(\sqrt[3]{bc}\)+3\(\sqrt[3]{ac}\)
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương, ta được:
3A\(\le\)(a+b+1)+(b+c+1)+(a+c+1)=9
=>A\(\le\)3<=>a=b=c=1
Vậy MaxA=3 <=>a=b=c=1
Với B làm tương tự
\(B\le\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\left(\frac{2a+b+3+3}{3}+\frac{2b+c+3+3}{3}+\frac{2c+a+3+3}{3}\right)\)
\(=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{3\left(a+b+c\right)+18}{3}=\frac{9}{\sqrt[3]{9}}=\sqrt[3]{81}=3\sqrt[3]{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ngược dấu cho 2 số không âm ta có
\(\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{x-1}}\ge2.\)
\(\sqrt{\left(\frac{y}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}\right).\sqrt{2}}\le\frac{\frac{y}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}=\frac{y}{2\sqrt{2}}\Rightarrow\frac{y}{\sqrt{y-2}}\ge2\sqrt{2}.\)
\(\sqrt{\left(\frac{z}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\right).\sqrt{3}}\le\frac{\frac{z}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}=\frac{z}{2\sqrt{3}}\Rightarrow\frac{z}{\sqrt{z-3}}\ge2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow A\ge2+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)
Vậy Min \(A=2+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=1\\\frac{y}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\\\frac{z}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}\left(tmđk\right)}\)
phải thêm đk p nguyên tố chứ bn?
\(p^4-1=\left(p^2-1\right)\left(p^2+1\right)\)
\(=\left(p^2-1\right)\left(p^2-4+5\right)\)
\(=\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)+5\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)
+ p là SNT > 5
=> p k chia hết cho 5
=> \(p^2\) chia 5 dư 1 hoặc 4
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}p^2-1⋮5\\p^2-4⋮5\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(p^2-1\right)\left(p^2-4\right)⋮5\)
\(\Rightarrow\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮5\) (1)
+ p là SNT > 5 => p là số lẻ
=> \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)là tích 2 số chẵn liên tiếp
=> \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\) ( 2 )
\(\Rightarrow\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮8\) (3)
+ p là số nguyên tố > 5
=> p k chia hết cho 3
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}p-1⋮3\\p+1⋮3\end{cases}}\) ( do p - 1 , p , p + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp )
\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\) (4)
\(\Rightarrow\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮3\) (5)
+ Từ (1) , (3) , (5) suy ra \(\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮3.5.8\)
( do ba số 3,5,8 đôi một nguyên tố cùng nhau )
\(\Rightarrow\left(p-2\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\left(p+2\right)⋮120\) (*)
+ Tư (2) và (4) suy ra \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮24\) ( do (3,8) = 1 )
\(\Rightarrow5\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮120\) (**)
Từ (*) và (**) suy ra đpcm
(P/s :mk thử thôi nhé , k chắc có đúng đâu, sai thì bỏ qua nah)
Vì p>5 , p - nguyên tố \(\Rightarrow p-lẻ\)\(\Rightarrow p-1=2k\left(k=3,4,...\right)\)
\(\Rightarrow p+1=2k+2\Rightarrow p+1=2\left(k+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=2k.2\left(k+1\right)=4k\left(k+1\right)\)
Mà k(k+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp => \(k\left(k+1\right)⋮2\)
\(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\)
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp p-1 ; p ; p+1 ắt có 1 số chia hết cho 3 . Vì p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p không chia hết cho 3.
Do đó p-1 hoặc p+1 chia hết cho 3, suy ra
\(\hept{\begin{cases}\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮3\\\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮8\end{cases}}\)
Mà (3;8)=1 \(\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮24\)
Lại có \(p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)
\(\Rightarrow p^4-1⋮24\)(1)
Mặt khác p-nguyên tố lớn hơn 5 suy ra p có các dạng 5n+1 , 5n+2, 5n+3, 5n+4 (n thuộc N)
Với p=5n+1 => p-1=5n \(⋮5\)=> \(p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)
Với p=5n+2 => \(p^2+1=\left(5n+2\right)^2+1=25n^2+20n+4+1=5\left(5n^2+4n+1\right)⋮5\)
\(\Rightarrow p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)
Với p=5n+3 => \(p^2+1=\left(5n+3\right)^2+1=25n^2+30n+10=5\left(5n^2+6n+2\right)⋮5\)
\(\Rightarrow p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)
Với p=5n+4 => \(p+1=5n+4+1=5\left(n+1\right)⋮5\)
\(\Rightarrow p^4-1=\left(p^2+1\right)\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮5\)
Khi đó \(p^4-1⋮5\)(2)
Từ (1) và (2) và (5;24)=1 Ta có \(p^4-1⋮120\)
\(A=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}\Leftrightarrow\sqrt{2}A=\sqrt{8+2\sqrt{7}}-\sqrt{8+2\sqrt{7}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}A=\sqrt{\sqrt{7}^2+2\sqrt{7}+1}-\sqrt{\sqrt{7}^2+2\sqrt{7}+1}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}A=\sqrt{7}+1-\sqrt{7}-1=0\)
\(\Leftrightarrow A=0\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\frac{2.\left(y+z\right)}{2}}{x}+\frac{\frac{8.\left(x+z\right)}{2}}{y}+\frac{\frac{18.\left(x+y\right)}{2}}{z}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{y+z}{x}+\frac{4.\left(x+z\right)}{y}+\frac{9.\left(x+y\right)}{z}\)
\(\Leftrightarrow P=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{4x}{y}+\frac{4z}{y}+\frac{9x}{z}+\frac{9y}{z}\)
Áp dụng BĐT AM-Gm ta có:
\(P\ge2.\sqrt{\frac{y}{x}.\frac{4x}{y}}+2.\sqrt{\frac{z}{x}.\frac{9x}{z}}+2.\sqrt{\frac{4z}{y}.\frac{9y}{z}}=2.2+2.3+2.6=22\)
Dấu " = " xảy ra <=> y=2x; z=3x
KL:........................................
Sorry bạn nhé !
Mk rất muốn làm nhưng có điều là mk mới lớp 6 thôi !
Phong????