\(x+y=1\Rightarrow2\sqrt{xy}\le1\Rightarrow\sqrt{xy}\le\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)

Áp dụng bđt cauchy cho 3 số dương:

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{xy}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}.\frac{1}{xy}}=3.\frac{1}{xy}\ge3.4=12\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Nhận thấy vế trái không âm với mọi x nên điều kiện cần để x là nghiệm của phương trình là vế phải không âm, tức là :

\(101x\ge0\Leftrightarrow x\ge0\)

Khi đó các biểu thức trong tất cả các dấu giá trị tuyệt đối ở vế trái đều dương.
Vì vậy phương trình trở thành :

\(\left(x+\frac{1}{1.5}\right)+\left(x+\frac{1}{5.9}\right)+.....+\left(x+\frac{1}{397.401}\right)=101x\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1.5}+\frac{1}{5.9}+.....+\frac{1}{397.401}\right)+100x=101x\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{1.5}+\frac{1}{5.9}+......+\frac{1}{397.401}\)

\(\Leftrightarrow4x=\frac{4}{1.5}+\frac{4}{5.9}+......+\frac{4}{397.401}\)

\(\Leftrightarrow4x=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-......+\frac{1}{397}-\frac{1}{401}\)

\(\Leftrightarrow4x=1-\frac{1}{401}\)

\(\Leftrightarrow4x=\frac{400}{401}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{100}{401}\)(  thỏa mãn điều kiện \(x\ge0\))

Vậy phương trình có nghiệm là  \(x=\frac{100}{401}\)

\(\left(2x-1\right)^2-\left(2-x\right)\left(2x-1\right)=0\)

\(4x^2-4x+1-5x+2x^2+2=0\)

\(6x^2-9x+3=0\)

\(6x^2-6x-3x+3=0\)

\(\left(x-1\right)\left(6x-3\right)=0\)

\(\hept{\begin{cases}x-1=0\\6x-3=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

Từ biểu thức, suy ra:

(2x-1)(2x-1-2+x)=0

<=>(2x-1)(3x-3)=0

<=>\(\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\x=1\end{cases}}\)

Vậy x\(\in\){1/2;1}

TH1: 2x+4x-5 = 0

     = 6x-5=0

    = x=5/6

TH2: 2x-4x-5=0

        = -2x-5=0

       x= 5/2

+) If \(x\ge0\)then \(4\left|x\right|=4x\)

Equation becomes: \(x^2-4x-5=0\)

We have \(\Delta=\left(-4\right)^2+4.5=36,\sqrt{\Delta}=6\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{4+6}{2}=5\left(tm\right)\\x=\frac{4-6}{2}=-1\left(L\right)\end{cases}}\)

+) If \(x< 0\)then \(4\left|x\right|=-4x\)

Equation becomes: \(x^2+4x-5=0\)

We have \(\Delta=4^2+4.5=36,\sqrt{\Delta}=6\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-4+6}{2}=1\left(L\right)\\x=\frac{-4-6}{2}=-5\left(tm\right)\end{cases}}\)

So \(x\in\left\{\pm5\right\}\)