\(B=5+5^2+5^3+...+5^{89}+5^{90}\)

\(B=\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+...+\left(5^{87}+5^{88}+5^{89}+5^{90}\right)\)

\(B=5.\left(1+5+25+125\right)+...+5^{87}.\left(1+5+25+125\right)\)

\(B=5.156+...+5^{87}.156\)

\(B=\left(5+...+5^{87}\right).156\)

Mà \(156⋮26\) nên

\(\Rightarrow\left(5+...+5^{87}\right).156⋮26\) (hay \(B⋮26\))

\(\Rightarrow B⋮26\left(đpcm\right)\)

\(360=2^3\cdot3^2\cdot5;420=2^2\cdot3\cdot5\cdot7\)

=>\(BCNN\left(360;420\right)=2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520\)

Vì vận động viên thứ nhất chạy một vòng hết 360 giây, vận động viên thứ hai chạy một vòng hết 420 giây nên sau ít nhất là BCNN(360;420)=2520 giây thì hai VĐV này mới lại gặp nhau

=>Sau ít nhất là 2520 giây=42 phút thì hai người mới gặp lại nhau

sau 42 phút

dạng ƯC ;ƯCLN;BC;BCNN

Ta có: \(65\cdot\left(35-9\right)-35\left(65+9\right)\)

\(=65\cdot35-65\cdot9-65\cdot35-35\cdot9\)

\(=-65\cdot9-35\cdot9\)

\(=-9\left(65+35\right)=-9\cdot100=-900\)

Có duy nhất 1 số nguyên tố chẵn là số 2 bạn nhé

                         Giải

 Các số chẵn là các số: 0; 2; 4; 6; 8;.. có vô số số chẵn trong đó: 

+ Số 0 không phái là số nguyên tố vì:

Số 0 chia hết cho 1; 2; 4.... nên số 0 là hợp số.

+ Số 2 là số nguyên tố vì 2 chia hết cho 1 và chính nó.

+ Mọi số chẵn lớn hơn hai đều có tính chất:

Chia hết cho: 1; 2; và chính nó vậy nên các số chẵn lớn hơn 2 là hợp số.

Từ các lập luận trên ta có trong tất cả các số chẵn chỉ có một số duy nhất là hợp số đó là số 2

Kết luận: có một số chẵn là số nguyên tố.

     Đây là toán nâng cao chuyên đề số nguyên tố, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp phản chứng như sau:

                                     Giải:

Vì hai số trong ba số đã cho đều là số nguyên tố, giả sử số thứ ba còn lại cũng là số nguyên tố. Khi đó, cả ba số:

8p - 1; 8p; 8p + 1 đều là số nguyên tố.

Từ lập luận trên ta có 8p là số nguyên tố vô lý vì:

p là số nguyên tố nên p > 1 suy ra 8p > 8 suy ra 8p ⋮ 1; 8; 8p vậy 8p là hợp số.

Vậy điều giả sử là sai. hay nếu trong ba số đã cho có hai số là số nguyên tố thì số còn lại không phải là số nguyên tố. 

Gọi số người tham gia buổi học tập thể dục là x (với x nguyên dương)

Do có khoảng từ 400 đến 500 người tham gia nên \(400\le x\le500\)

Do xếp hàng 5, 6, 8 đều thừa một người nên x chia 5, 6 và 8 đều dư 1

Suy ra `x-1` đồng thời chia hết cho 5, 6 và 8

Hay \(x-1\in BC\left(5,6,8\right)\)

\(5=1.5\)

\(6=2.3\)

\(8=2^3\)

\(\Rightarrow BCNN\left(5,6,8\right)=2^3.3.5=120\)

\(\Rightarrow x-1\in B\left(120\right)=\left\{0;120;240;360;480;600;...\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{1;121;241;361;481;601;...\right\}\)

Mà \(400\le x\le500\)

Suy ra \(x=481\)

Vậy có chính xác `481` người tham dự buổi tập thể dục

Lời giải

Gọi số học sinh là x

 Theo đề bài , x : 5 (dư 1)⇒(x - 1) ⋮ 5

                       x : 6 (dư 1) ⇒(x - 1) ⋮ 6

                        x : 8 (dư 1) ⇒ ( x - 1) ⋮ 8

 ⇒ \(x\in\) BC (5;6;8)

       Ta có : 5 = 5 

                   6 = 2 . 3

                   8 = 2³

 BCNN(5;6;8) = 5 . 2³ . 3= 120 

 BC (5;6;8) = B(120) = { 0;120;240;360;480;600;...}

     ⇒ (x - 1) ={0;120;240;360;480;600;...}

     ⇒ x = { 1;121;241;361;481;601;...}

           Mà 400 < x < 500

⇒ x = 481

 Vậy buổi diễn tập có 481 học sịnh

 Tick cho mình nhaaa

32.2^\(x\).2\(^{x-3}\) = 48

     2\(^x\).2\(^{x-3}\) = 48 : 32

    2\(^{x+x-3}\)   = \(\dfrac{3}{2}\)

    2\(^{2x}\) = \(\dfrac{3}{2}\).2³ = 3.2²

   ⇒ 2^\(2x\) ⋮ 3 (vô  lý)

Vậy không có giá trị nào của \(x\) là số tự nhiên thỏa mãn đề bài.

Kết luận \(x\) \(\in\) \(\varnothing\) 

  M = 2 + 2² + 2³ + .. + 2⁹⁹

2M = 2² + 2³ + 2⁴ + .. + 2¹⁰⁰

2M - M = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2¹⁰⁰ - 2 - 2² - 2³ - ..-2⁹⁹

M = (2² - 2²) + (2³ - 2³) + ..+ (2⁹⁹ - 2⁹⁹) + 2¹⁰⁰ - 2

M = 0  + 0 + 0+ ..+ 0  +2¹⁰⁰ - 2 = 2¹⁰⁰ - 2

M + 2 = 2¹⁰⁰ - 2 + 2 = 2¹⁰⁰ - (2 - 2) = 2¹⁰⁰

Ta có: \(M=2+2^2+2^3+...+2^{99}\)

=>\(2M=2^2+2^3+2^4+...+2^{100}\)

=>\(2M-M=2^2+2^3+...+2^{100}-2-2^2-...-2^{99}\)

=>\(M=2^{100}-2\)

=>\(M+2=2^{100}\)

2\(^{x+3}\) - 2³ = 24

2\(^{x+3}\) - 8 = 24

2\(^{x+3}\) = 24 + 8

2\(^{x+3}\) = 32

\(2^{x+3}\) = 2⁵

\(x+3\) = 5

\(x=5-3\)

\(x=2\)

Vậy \(x=2\)