\(\left(x-1\right)^2=2\left(x^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=2x^2-2\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2x-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x+3=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-3\end{cases}}\)

\(\left(x-1\right)^2=2\left(x^2-1\right)\)

\(x^2-2x+1=2x^2-2\)

\(x^2+2x-3=0\)

\(\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0\)

\(x=-3;1\)

\(x^3-3x^2+3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^3-\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(x-1\right)^2-\left(x+1\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(x-1\right)^2-x-1\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\\left(x-1\right)^2-x-1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=0\\x=3\end{cases}}\)Bạn đổi dấu ngoặc nhọn thành ngoặc vuông giúp mình nhé

sollution

Áp dụng Bunhiacopxki dạng phân thức:

\(VT=\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\ge\frac{\left(\sqrt{2}.3\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{x+y+z}\)

Dấu "=" khi x = y = z > 0

cũng là Cauchy-Schwarz dạng Engel nhưng làm khác idol :))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+y+z+z+x}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)

=> \(2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\cdot2=\frac{9}{x+y+z}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z

<=> 10x² - 6x - 10x² - 1 = 5

<=> 6x = -6

<=> x = -1

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\(a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)

\(\Leftrightarrow b^2c^2+a^2d^2\ge2abcd\)(luôn đúng)

Vậy bđt được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

 a²c² + 2abcd  + b²d²  <  a²c² + b²c² + a²d² +b²d²

<=>b²d² +  a²d² > 2abcd (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Dấu = xảy ra khi a=b=c=d        k nha

a, Đặt \(x^2-4x+8=a\left(a>0\right)\)

\(\Rightarrow a-2=\frac{21}{a+2}\)

\(\Leftrightarrow a^2-4=21\Rightarrow a^2=25\Rightarrow a=5\)

Thay vào là ra

b) ĐK: \(y\ne1\)

bpt <=> \(\frac{4\left(1-y\right)}{1-y^3}+\frac{1+y+y^2}{1-y^3}+\frac{2y^2-5}{1-y^3}\le0\)

<=> \(\frac{3y^2-3y}{1-y^3}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{y\left(y-1\right)}{\left(y-1\right)\left(y^2+y+1\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{y}{y^2+y+1}\ge0\)

vì \(y^2+y+1=\left(y+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

nên bpt <=> \(y\ge0\)