A B C D K F E O M N H I

+ Kẻ AH // FE // CI   \(\left(H,I\in BD\right)\)

+ \(\Delta AOH=\Delta COI\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow OH=OI\)

\(\Rightarrow BH+BI=BH+BO+OI\)

\(=BH+OH+BO=2BO=4BM\)

+ Xét \(\Delta ABH\)có : AH // FM theo định lí Ta - lét ta có : 

\(\frac{BA}{BF}=\frac{BH}{BM}\left(1\right)\)

+ Xét \(\Delta BCI\) có CI // ME theo định lí Ta - lét ta có : 

\(\frac{BC}{BE}=\frac{BI}{BM}\left(2\right)\)

+ Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)

\(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{BH}{BM}+\frac{BI}{BM}=\frac{BH+BI}{BM}=\frac{4BM}{BM}=4\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^4}{y+3z}.\frac{y+3z}{16}.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}}=x\)

\(\Rightarrow\frac{x^4}{y+3z}\ge x-\frac{y+3z}{16}-\frac{1}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại : 

\(\frac{y^4}{z+3x}\ge y-\frac{z+3x}{16}-\frac{1}{2};\frac{z^4}{z+3y}\ge z-\frac{x+3y}{16}-\frac{1}{2}\)

Công theo vế 3 BĐT trên ta được :

\(VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{3}{4}.3-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Cách 2:

\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x+y+z\right)^2}{3}}{4\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}{12}\)

\(\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}}{12}\ge\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Đặt \(\left(x,y,z\right)=\left(a+1,b+1,c+1\right)\Rightarrow a,b,c\ge0\)

Ta có : 

\(3x^2+4y^2+5z^2=52\Leftrightarrow3\left(a+1\right)^2+4\left(b+1\right)^2+5\left(c+1\right)^2=52\)

\(\Leftrightarrow3a^2+4b^2+5c^2+6a+8b+10c=40\)

\(\Leftrightarrow5\left(a+b+c\right)^2+10\left(a+b+c\right)=40+2a^2+b^2+10\left(ab+bc+ac\right)+4a+2b\)

\(\Rightarrow5\left(a+b+c\right)^2+10\left(a+b+c\right)\ge40\Leftrightarrow a+b+c\ge2\)

Do đó \(x+y+z=a+b+c+3\ge5\)

Vậy \(F_{min}=5\Leftrightarrow x=y=1;z=3\)

Chúc bạn học tốt !!!

Bớt copppy đưa link tử tế cái :)))):

Cho các số thực x y z ge1 thỏa mãn 3x 2 4y 2 5z 2 52 Tìm ...

Tìm GTNN của F=x+y+z biết 3x^2+4y^2+5z^2-52 - H7.net

Search mạng đầy vler :333

\(\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\le\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{2\sqrt{xy}}-\frac{x+y}{2}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}-\frac{x+y}{2}\)

Cần chứng minh : \(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}-\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}-x-y\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-2x-2y\le1\)

\(\Leftrightarrow2x+2y-2\sqrt{x}-2\sqrt{y}+1\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\ge0\) 

Vì BĐT cuối luôn đúng nên BĐT cần chứng minh luôn đúng khi x = y = \(\frac{1}{4}\)

\(VT=\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\le\frac{\sqrt{2xy\left(x+y\right)}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\)

\(\le\frac{\left(x+y\right)\sqrt{\frac{x+y}{2}}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\) . Cm : \(\sqrt{\frac{x+y}{2}}-\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{4}\)

Đặt \(x+y=t>0\)thì :

\(\sqrt{\frac{t}{2}}-\frac{t}{2}\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow-\frac{1}{4}\left(\sqrt{2t}-1\right)^2\le0\) ( đúng )

Chúc bạn học tốt !!!

BĐT cần chứng minh tương đương với : \(\frac{\left(x+z\right)^2}{xz}\ge\frac{y\left(x+z\right)}{xz}+\frac{x+z}{y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{xz}\ge\frac{y}{xz}+\frac{1}{y}\Leftrightarrow y\left(x+z\right)\ge y^2+xz\)

\(\Leftrightarrow y^2-y\left(x+z\right)+xz\le0\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(y-z\right)\le0\) ( luôn đúng vì \(z\ge y\ge x>0\))

Vậy BĐT đã được chứng minh khi x = y = z

gõ lại đề coi. ghi thế khó nhìn

mk chỉ tìm đc Max thôi bn ak

áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốpxki:

pt trình đã cho (=)  6(x²+y²+z²)=(1+1+2²).(x²+y²+z²)=18 >= (x+y+2z)²

=) x+y+2z<= 3 căn(2)

=) Max ...

Nguyễn Trung Thành từ:

\(18=6\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+2z\right)^2\)

\(\Rightarrow3\sqrt{2}\ge x+y+2z\ge-3\sqrt{2}\) luôn nha! Vì nó không có đk x, y, z > 0.

Suy ra min và max

sai đề kìa bạn !  đi bằng xuồng máy vs vận tốc bé hơn mà lại đến B sớm hơn dự định???