\(\left(4x+\frac{1}{4}\right)^3=64x^3+12x^2+\frac{3x}{4}+\frac{1}{64}\)

\(\left(3x+\frac{2}{x}\right)^3=27x^3+54x+\frac{36}{x}+\frac{8}{x^3}\)

\(\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^3=x^6+3x^3+2+\frac{1}{x^3}\)

Tương tự ... 

6) \(\left(4x+\frac{1}{4}\right)^3=64x^3+12x^2+\frac{3}{4}x+\frac{1}{64}\)

7) \(\left(3x+\frac{2}{x}\right)^3=27x^3+54x+\frac{36}{x}+\frac{8}{x^3}\)

8) \(\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^3=x^6+3x^3+3+\frac{1}{x^3}\)

9) \(\left(x+\frac{2}{xy}\right)^3=x^3+\frac{6x}{y}+\frac{12}{xy^2}+\frac{8}{x^3y^3}\)

10) \(\left(x^2+\frac{2}{xy}\right)^3=x^6+\frac{6x^3}{y}+\frac{12}{y^2}+\frac{8}{x^3y^3}\)

Xét \(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left[\left(x-y\right)+x\right]\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+x.\left(x^2+y^2+xy\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge x^3-y^3+x^3+xy^2+x^2y\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-xy^2-x^2y\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2.\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) ( Luôn đúng )

Vậy \(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

a) Ta có: \(y-x=1\Rightarrow x-y=-1\)

\(A=x^3-y^3+3xy\)

\(A=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+3xy\)

\(A=-x^2-xy-y^2+3xy\)

\(A=-\left(x-y\right)^2=-\left(-1\right)^2=-1\)

b) Ta có: 

\(B=x\left(x+2\right)+y\left(y-2\right)-2xy+37\)

\(B=x^2+2x+y^2-2y-2xy+37\)

\(B=\left(x^2-2xy+y^2\right)+2\left(x-y\right)+1+36\)

\(B=\left(x-y\right)^2+2\left(x-y\right)+1+36\)

\(B=\left(x-y+1\right)^2+36\)

\(B=11^2+36=121+36=157\)

                      Bài làm :

Ta có :

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ac=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{c}\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^3=\left(-\frac{1}{c}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{3}{ab}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=-\frac{1}{c^3}\left(2\right)\)

Thay (1) vào (2) ; ta được :

\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{3}{abc}=-\frac{1}{c^3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

=> Điều phải chứng minh

Ta có \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow2ab+2ac+2bc=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+ac+bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab+ac+bc=0\)

Ta lại có giả sử

\(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^3b^3c^3}=\frac{3}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{a^2b^2c^2}=3\)

\(\Leftrightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3.a^2b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3-3.a^2b^2c^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ac\right)^3-3ca\left(ab+bc\right)\left(ab+bc+ac\right)-3ab^3c\left(-ac\right)-3a^2b^2c^2=0\)

\(\Leftrightarrow0+3a^2b^2c^2-3a^2b^2c^2+0=0\)

\(\Leftrightarrow0=0\left(lđ\right)\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh 

Gọi số ngày may theo kế hoạch là x( ngày, x>0 )

Số áo phải may theo kế hoạch = 60x( áo )

Thực tế, phân xưởng may được 64 áo/ngày và hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày

=> Số ngày phân xưởng thực hiện kế hoạch là x - 2 ( ngày ) và may được 64( x - 2 ) áo

Theo đề bài , số áo may được nhiều hơn so với kế hoạch là 140 áo

=> Ta có phương trình : 60x + 140 = 64( x - 2 )

                               <=> 60x + 140 = 64x - 128

                               <=> 60x - 64x = -128 - 140

                               <=> -4x = -268

                               <=> x = 67 ( tmđk )

=> Theo kế hoạch, phân xưởng phải may 67.60 = 4020 áo

Đ/s: 4020 áo

Gọi số áo phải dệt theo kế hoạch là x ( cái áo ) x > 0

=> Số ngày phải dệt là x/60 (ngày)

Số ngày dệt 64/ngày là x/64 (ngày)

Ta có : x/60 - x/64 = 2

<=> 64x x 60x = 7680

<=> x = 1920 (tm)

Nhưng vượt số lượng sản phẩm là 140 cái áo

=> Số áo phải dệt là :

1920 - 140 = 1780 ( cái áo )

Đó là cách giải bài toán này theo cách lập phương trình

Khai triển ? -.-

1. ( 3x + 2y )³ = ( 3x )³ + 3.(3x)².2y + 3.3x.(2y)² + ( 2y )³

                       = 27x³ + 3.9x².2y + 3.3x.4y² + 8y³

                       = 27x³ + 54x²y + 36xy² + 8y³

( 1 + xy )³ = 1³ + 3.1³.xy + 3.1.(xy)² + ( xy )³

                 = 1 + 3xy + 3x²y² + x³y³

( x + 3y )³ = x³ + 3x².3y + 3.x.(3y)² + ( 3y )³

                 = x³ + 9x²y + 3.x.9y² + 27y³

                 = x³ + 9x²y + 27xy² + 27y³

( x + 4y )³ = x³ + 3.x².4y + 3.x.(4y)² + ( 4y )³

                 = x³ + 12x²y + 3.x.16y² + 64y³

                 = x³ + 12x²y + 48xy² + 64y³

( 2x + 5y )³ = ( 2x )³ + 3(2x)².5y + 3.2x.(5y)² + ( 5y )³

                   = 8x³ + 3.4x².5y + 3.2x.25y² + 125y³

                   = 8x³ + 60x²y + 150xy² + 125y³